Fibonotci / Eat

两个矩阵快速幂优化的好题

Fibonotci

对于这种转移有循环的函数，因为每一次对初始元素的操作是相同的，那么就可以抽象成在这个循环的前端输入了一个元素，然后经过一番操作，得到了新的元素，然后先考虑没有修改的做法，因为每n个的转移是一样的，那么对于n步内的每一个转移构造一个2*2的矩阵，然后把这些矩阵乘起来，然后如果K是n的整数倍，直接用得到的矩阵快速幂就行了，如果不是，那么剩下不足n个的暴力算就行了

对于有修改的情况，我们可以在每修改的两个位置之间的地方进行快速幂，然后手动跳过去就行了。但是如果修改的位置在一个循环的中间位置，那么从这个位置到这个循环末端剩下的部分组成的循环矩阵需要一种数据结构迅速得到，那么就可以用线段树来维护，每一个节点是一个矩阵，然后就可以维护了。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
void ot(){cout<<"***"<<endl;}
const int maxn=50010;
LL K,mod,n,m;
LL s[maxn];
struct MM{
    LL d[4][4];
    void clear(){memset(d,0,sizeof(d));}
    void beg(){ memset(d,0,sizeof(d)); d[1][1]=d[2][2]=1;}
    void O(){
        for(int i=1;i<=2;i++){
            for(int j=1;j<=2;j++)
                cout<<d[i][j]<<" "; 
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
    }
};
struct MMM{
    LL d[4];
    void clear(){memset(d,0,sizeof(d));}
};
MM c;
MM operator * (const MM a,const MM b){
    c.clear();
    for(int k=1;k<=2;k++)
        for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++){
                c.d[i][j]=(c.d[i][j]+b.d[i][k]*a.d[k][j]%mod)%mod;
            }
    return c;
}
MMM cc;
MMM operator * (const MMM a,const MM b){
    cc.clear();
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
            cc.d[i]=(cc.d[i]+a.d[j]*b.d[i][j])%mod;
    return cc;
}
MM sum[maxn*4];
void Build(int now,int l,int r){
    if(l==r){
        if(l==0){ sum[now].beg(); return;}
        sum[now].d[1][1]=s[l%n]; sum[now].d[1][2]=s[(l-1)%n];
        sum[now].d[2][1]=1;    sum[now].d[2][2]=0; 
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    Build(now<<1,l,mid); Build(now<<1|1,mid+1,r);
    sum[now]=sum[now<<1]*sum[now<<1|1];
    /*
    cout<<"================="<<endl;
    cout<<"lr== "<<l<<"  "<<r<<endl;
    sum[now].O();
    sum[now<<1].O();
    sum[now<<1|1].O();
    cout<<"================="<<endl;
    */
}
MM e;
int timer;
MM query(int left,int right,int now,int l,int r){
    if(left>right) return e;
    if(left<=l && r<=right){
        return sum[now];
    }
    int mid=(l+r)>>1; MM ret; ret.beg();
    if(left<=mid) ret=ret*query(left,right,now<<1,l,mid);
    if(right>mid) ret=ret*query(left,right,now<<1|1,mid+1,r);
    return ret;
}
struct Boy{
    LL id,to;
}g[maxn];
bool cmp1(const Boy &a,const Boy &b){return a.id<b.id;}
void init(){
    scanf("%lld%lld%lld",&K,&mod,&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&s[i]);
    scanf("%lld",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&g[i].id,&g[i].to);
    sort(g+1,g+m+1,cmp1);
    Build(1,1,n);
    e.beg();
}
MM ksm(MM a,LL b){
    MM ret; ret.beg();
    while(b){
        if(b&1) ret=ret*a;
        b>>=1; a=a*a;
    }
    return ret;
}
MMM f;
void work1(){
    LL t=K/n,rm=K-K/n*n;
    if(rm==0) t--,rm=n;
    MM bs=sum[1];
    bs=ksm(bs,t);
    f.d[1]=1; f.d[2]=0;
    f=f*bs;
    if(rm-1) bs=query(1,rm-1,1,1,n),f=f*bs;
    cout<<f.d[1]<<endl;
}
MMM cun;
MM Ask(LL l,LL r){
    LL len=r-l; MM bs,ha; bs.beg();
    LL t1,t2,len1,len2;
    if(l%n==0){
        bs=query(n,n,1,1,n);  l++;
    }
    if(r-l<n){
        // if(timer) ot();
        if(r%n>=l%n){

            bs=bs*query(l%n,r%n-1,1,1,n);
        }
        else if(r%n==0){

            bs=bs*query(l%n,n-1,1,1,n);
        }
        else{

            bs=bs*query(l%n,n,1,1,n);
            if(r%n-1) bs=bs*query(1,r%n-1,1,1,n);
            if(timer){
                cout<<l%n<<"  "<<r%n-1<<endl;
            }
        }
    }
    else{

        if(r%n!=0 && r%n-1==0){
            // if(timer){
            //     cout<<"llll== "<<l<<" "<<r<<endl;
            //     cout<<l%n<<" "<<r%n<<endl;
            // }
            t1=l%n? l%n:n;
            len1=n-t1+1;
            bs=bs*query(t1,n,1,1,n);
            len-=len1;
            LL t=len/n;
            // if(timer) cout<<"len== "<<len<<endl;
            ha=sum[1];
            ha=ksm(ha,t);
            bs=bs*ha;
        }
        else{
            t1=l%n? l%n:n;
            len1=n-t1+1;
            bs=bs*query(t1,n,1,1,n);
            len-=len1;
            t2=r%n? r%n-1:n-1;
            len2=t2;
            len-=len2;
            LL t=len/n;
            ha=sum[1];
            ha=ksm(ha,t);
            bs=bs*ha;
            bs=bs*query(1,t2,1,1,n);
        }
    }
    return bs;
}
void work2(){
    LL id,to;
    LL lst=1; MM bs;
    f.d[0]=0; f.d[1]=1;
    int od=82,od1=0;
    g[0].id=-2; g[m+1].id=-4;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        id=g[i].id,to=g[i].to;
        if(id==od || id==od1) timer=1;
        if(id>=K) break;
        cun=f;
        // if(timer){ cout<<"dun== "<<cun.d[1]<<"  "<<cun.d[2]<<endl;}
        bs=Ask(lst,id);
        f=f*bs; 
        lst=id;
        // if(timer){cout<<"id== "<<id<<" "<<f.d[1]<<endl;}
        if(g[i].id+1==g[i+1].id){
            LL t=f.d[1];
            f.d[1]=(f.d[1]*to%mod+f.d[2]*s[(id-1)%n]%mod)%mod;
            f.d[2]=t; t=f.d[1];
            lst=id+1;
            if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;}
            while(g[i].id+1==g[i+1].id){
                t=f.d[1];
                f.d[1]=(f.d[1]*g[i+1].to%mod+f.d[2]*g[i].to%mod)%mod;
                f.d[2]=t; t=f.d[1];
                lst++;
                if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;}
                i++;
            }
            t=f.d[1];
            f.d[1]=(f.d[1]*s[lst%n]%mod+f.d[2]*g[i].to%mod)%mod;
            f.d[2]=t;
            lst++;
            // cout<<"lst= "<<lst<<" "<<f.d[1]<<" "<<g[i].id<<endl;
            if(lst==K) if(lst==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;}
        }
        else{
            LL t=f.d[1];
            f.d[1]=(f.d[1]*to%mod+f.d[2]*s[(id-1)%n]%mod)%mod;
            f.d[2]=t; t=f.d[1];
            f.d[1]=(f.d[1]*s[(id+1)%n]%mod+f.d[2]*to%mod)%mod;
            f.d[2]=t;
            lst=id+2;
        }
        if(id==od || id==od1){timer=0;}
        if(id+1==K){cout<<f.d[2]<<endl; return;}
        if(id+2==K){cout<<f.d[1]<<endl; return;}
    }
    bs=Ask(lst,K);
    f=f*bs;
    cout<<f.d[1]<<endl;
}
int main(){
    // check();
    // freopen("fibonotci4.in","r",stdin);
    // freopen("a.in","r",stdin);
    init();
    if(m==0) work1();
    else work2();
}

Eat

这个题有20分的暴力，那么直接插头就行了，然后可以发现每一行转移完了之后，发现只有9个有效的状态，那么可以构建一个9*9的状态之间的转移矩阵，然后就可以像上一题一样一段一段的跳就行了

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1000000007;
LL n,m,c,d;
int cnt;
struct Point{LL x,y,nam;}spc[50];
bool cmp1(const Point &a,const Point &b){return a.x==b.x? a.y<b.y:a.x<b.x;}
int q[20],tot,id[200],cun[10];
void Jud(){
    int mk=0,S=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(cun[i]==1) mk++; 
        else if(cun[i]==2 && mk) mk--;
        else if(cun[i]==2 && mk<=0) return;
    if(mk!=0) return;
    for(int i=1;i<=m;i++) S|=(cun[i]<<(i-1 << 1));
    q[++tot]=S;
}
void dfs(int x){
    if(x==m+1){ Jud();return;}
    for(int i=0;i<=2;i++){
        cun[x]=i; dfs(x+1);
    }
}
void find_id(){ 
    dfs(1); sort(q+1,q+tot+1); 
    for(int i=1;i<=tot;i++) id[q[i]]=i; 
}
struct MM{
    LL d[11][11];
    void clear(){memset(d,0,sizeof(d));}
    void beg(){memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=1;i<=tot;i++) d[i][i]=1;}
    void O(){
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            for(int j=1;j<=tot;j++)
                cout<<d[i][j]<<" "; cout<<endl;
        } cout<<endl;
    }
}cc,bs;
MM operator * (const MM &a,const MM &b){
    cc.clear();
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=1;j<=tot;j++)
            for(int k=1;k<=tot;k++)
                cc.d[i][j]=(cc.d[i][j] + a.d[i][k]*b.d[k][j]%mod)%mod;
    return cc;
}
struct MMM{
    LL d[11];
    void clear(){memset(d,0,sizeof(d));}
    void O(){for(int i=1;i<=tot;i++) cout<<d[i]<<" "; cout<<endl<<endl;}
}ccc;
MMM operator * (const MMM &a,const MM &b){
    ccc.clear();
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=1;j<=tot;j++)
            ccc.d[i]=(ccc.d[i] + a.d[j]*b.d[j][i]%mod)%mod;
    return ccc;
}
MM ksm(MM a,LL b){
    MM ret; ret.beg();
    while(b){
        if(b&1) ret=ret*a;
        b>>=1; a=a*a;
    }
    return ret;
}
struct Hash_map{
    int key;
    struct edge{int u,nxt; LL v;}g[1<<20];
    int adj[77543],e;
    void clear(){memset(adj,-1,sizeof(adj)); e=0;}
    Hash_map(){key=76543; clear();}
    LL& newnode(int u){
        g[e].u=u; g[e].v=0;
        g[e].nxt=adj[u%key]; adj[u%key]=e++;
        return g[e-1].v;
    }
    LL& operator [] (const int u){
        for(int i=adj[u%key];i!=-1;i=g[i].nxt){
            if(u==g[i].u) return g[i].v;
        }
        return newnode(u);
    }
}f[2];
void Set(int &S,int x,int w){
    x=(x-1 << 1);
    S|=3<<x;
    S^=3<<x;
    S|=w<<x;
}
int Get(int S,int x){return (S>>(x-1 << 1))&3;}
int find(int S,int x){
    int d=(Get(S,x)==1?1:-1),p,mk=0;
    for(int i=x;i&&i<=m+1;i+=d){
        p=Get(S,i);
        if(p==1) mk++;
        else if(p==2) mk--;
        if(!mk) return i;
    }
}
int w[10],now,ey;
LL ans;
void see(int S){ for(int i=1;i<=m+1;i++) cout<<Get(S,i)<<" "; cout<<endl;}
void check(){
    for(int i=0;i<f[now].e;i++){
        cout<<" S= "<<f[now].g[i].u<<" :::"; see(f[now].g[i].u);
        cout<<"  val= "<<f[now].g[i].v<<endl;
    }
}
void DP(int y,int od){
    now^=1; int lst=now^1,p1,p2,S; LL val; f[now].clear();
    for(int i=0;i<f[lst].e;i++){
        S=f[lst].g[i].u; val=f[lst].g[i].v;
        p1=Get(S,y); p2=Get(S,y+1);
        if(w[y]==-1){
            if(!p1 && !p2) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
            continue;
        }
        if(!p1 && !p2){
            if(!w[y]) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
            if(od && y==ey && !S) ans=(ans+val)%mod;
            if(!od && y!=m) Set(S,y,1), Set(S,y+1,2), f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
        }
        else if(!p1 && p2){
            if(y!=m) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
            if(!od) Set(S,y,p2),Set(S,y+1,0),f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
        }
        else if(p1 && !p2){
            if(!od) f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
            if(y!=m) Set(S,y+1,p1),Set(S,y,0),f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
        }
        else if(p1==1 && p2==2){
            Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); 
            if(od && y==ey && !S) ans=(ans+val)%mod;
            f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;
        }
        else if(p1==1 && p2==1){Set(S,find(S,y+1),1),Set(S,y,0),Set(S,y+1,0);f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;}
        else if(p1==2 && p2==2){Set(S,find(S,y),2),Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;}
        else if(p1==2 && p2==1){Set(S,y,0),Set(S,y+1,0); f[now][S]=(f[now][S]+val)%mod;}
    }
}
void make_MM(){
    int S,u; memset(w,0,sizeof(w)); bs.clear();
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        now=0; f[now].clear(); f[now][q[i]<<2]=1;
        for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,0);
        for(int j=0;j<f[now].e;j++){
            u=f[now].g[j].u;
            bs.d[i][id[u]]+=f[now].g[j].v;
        }
    }
}
MMM F;
void work(){
    F.d[id[0]]=1; MM fast;
    LL lst=0,i; LL t;
    for(i=1;i<=cnt;i++){
        t=spc[i].x-lst-1; fast=bs;
        fast=ksm(fast,t); F=F*fast; lst=spc[i].x-1;
        if(spc[i].x==n) break;
        memset(w,0,sizeof(w));
        w[spc[i].y]=spc[i].nam;
        while(spc[i].x==spc[i+1].x) i++,w[spc[i].y]=spc[i].nam;
        now=0; f[now].clear();
        for(int j=1;j<=tot;j++) f[now][q[j]<<2]=F.d[j];
        for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,0);
        F.clear();
        for(int j=0;j<f[now].e;j++) F.d[id[f[now].g[j].u]]=f[now].g[j].v;
        lst=spc[i].x;
    }
    t=n-lst-1; fast=bs;
    fast=ksm(fast,t); F=F*fast;
    memset(w,0,sizeof(w));
    while(i<=cnt) w[spc[i].y]=spc[i].nam;
    for(int j=1;j<=m;j++) if(w[j]>=0) ey=j;
    now=0; f[now].clear();
    for(int j=1;j<=tot;j++) f[now][q[j]<<2]=F.d[j];
    for(int j=1;j<=m;j++) DP(j,1);
    cout<<ans<<endl;
}
int main(){
    // freopen("eat6.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&c,&d);
    for(int i=1;i<=c;i++) spc[++cnt].nam=-1,scanf("%lld%lld",&spc[cnt].x,&spc[cnt].y);
    for(int i=1;i<=d;i++) spc[++cnt].nam= 1,scanf("%lld%lld",&spc[cnt].x,&spc[cnt].y);
    sort(spc+1,spc+cnt+1,cmp1); spc[cnt+1].x=spc[cnt+1].y=-10;
    find_id();
    make_MM();
    work();
}