CodeForces 1332D Walk on Matrix

题意

(Bob)想解决一个问题：一个(ncdot m)的矩阵，从((1,1))出发，只能走右和下，问从((1,1))到((n,m))的最大(&)和

他的算法如下((C++))

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][1] = a[1][1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] & a[i][j], dp[i][j - 1] & a[i][j]);
        }
    }
    cout << dp[n][m];

已知他的算法并不能得到最大的(&)和

给定一个(k)，请构造出一个(ncdot m)的矩阵，使得最大(&)和比他的代码得出的答案大(k)

(1leq n,mleq 500)

(0leq a_{i,j}leq 3cdot 10^5)

(0leq kleq 10^5)

分析

既然要针对(Bob)的算法进行构造，那么肯定要知道他的算法错在哪里（知己知彼，百战百胜）

我们将第二个样例的矩阵作为输入，得到(Bob)的答案 ，发现是(2)，在答案路径中，((3,4))前的节点是((3,3))

我们输出(dp[3][3])发现是(4)，但是在答案路径中，走到((3,3))时是(3)，大概清楚了(&)和并不能进行贪心

且可以模仿样例在答案路径中放入一个另一个更大的(&)值

我们考虑能否直接构造矩阵使得答案是(k)，使得(Bob)的代码得到(0)

首先考虑二维矩阵，发现((2,2))是的确是挑最大的(&)和，无法构造

我们看到第二个样例是(3cdot 4)的矩阵，我们考虑能否构造出一个(2*3)的矩阵

考虑设计两个路径

• ((1,1)->(1,2)->(2,2)->(2,3))
• ((1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3))

通过样例得到灵感，第二条路径得到的((2,2))中的答案比第一条路径中大，但是不满足条件

那么思考如果&(要大，不妨在)k(的二进制前面加上一个)'1'(，如果第二条路径要大，可以在)k(取反后前面在加一个)'1'$

我们直接设计(a[2][3]=k)，我们看数据范围看到(a[i][j])的最大值可以为(3cdot k)，考虑如下构造：

将(k)变为(2)进制，设字符串为(s)，将其各位取反得到字符串(s1)

构造(2cdot 3)矩阵：

(('1'+s)) ((s)) ((0))

(('1'+s1)) (('1'+s)) ((s))

然后将其转换为十进制即可

路径一我们可以直接忽略(s)前面的(1)直接得到答案(k)

路径二我们发现走到((2,2))时，答案是(s)前面的(1)，那么这个和((2,3))的值(&)一定是(0)

取反也可以用^，但写代码时没考虑那么多

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define rep(z, x, y) for(int z=x;z<=y;++z)
#define com bool operator<(const node &b)
using namespace std;
const int maxn = (ll) 3e5 + 5;
const int mod = 998244353;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int k;
int a[30];

signed main() {
    start;
    cout << 2 << ' ' << 3 << '
';
    cin >> k;
    int maxx = 0;
    for (int i = 0; i < 30; ++i) {
        if (k & (1 << i))
            a[i] = 1, maxx = i;
        else
            a[i] = 0;
    }
    cout << k + (1 << (maxx + 1)) << ' ' << k << ' ' << 0 << '
';
    int ans = (1 << (maxx + 1));
    for (int i = maxx; i >= 0; --i) {
        if (!a[i])
            ans += (1 << i);
    }
    cout << ans << ' ' << k + (1 << (maxx + 1));
    cout << ' ';
    cout << k;
    return 0;
}

废话好多，构造还是思路重要，所以大部分篇幅都用来讲思路