51Nod1594 Gcd and Phi

题目看这里
一个简单的反演题目:

∑i=1n∑j=1nϕ(gcd(ϕ(i),ϕ(j)))$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\varphi (gcd(\varphi (i),\varphi (j)))$$

首先做一下变换
∑ni=1∑nj=1ϕ(gcd(ϕ(i),ϕ(j)))$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\varphi (gcd(\varphi (i),\varphi (j)))$
=∑nd=1ϕ(d)∗f(d)$=\sum _{d=1}^n\varphi (d)\ast f(d)$
这里f(d)=∑i,j[gcd(ϕ(i),ϕ(j))=d]$f(d)=\sum _{i,j}[gcd(\varphi (i),\varphi (j))=d]$
表示有多少对i,j满足它们的ϕ$\varphi$值的最大公约数为d
我们令F(d)=∑i,j[d|gcd(ϕ(i),ϕ(j))]$F(d)=\sum _{i,j}[d|gcd(\varphi (i),\varphi (j))]$,就有F(n)=∑n|df(d)$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$
反演得到f(n)=∑dF(n∗d)∗μ(d)$f(n)=\sum _{d}F(n\ast d)\ast \mu (d)$
所以原式可以写成∑i∗j<=nϕ(i)∗F(i∗j)∗μ(j)$\sum _{i\ast j<=n}\varphi (i)\ast F(i\ast j)\ast \mu (j)$
预处理μ,ϕ$\mu ,\varphi$和F$F$的值就可以了

#pragma GCC optimize("O3")$\mathrm{\#}pragmaGCCoptimize("O3")$
#pragma G++ optimize("O3")$\mathrm{\#}pragmaG++optimize("O3")$
#include<stdio.h>$\mathrm{\#}include<stdio.h>$
#include<string.h>$\mathrm{\#}include<string.h>$
#include<algorithm>$\mathrm{\#}include<algorithm>$
#define N 2000010 $\mathrm{\#}defineN2000010$
#define LL long long$\mathrm{\#}defineLLlonglong$
using namespace std;$usingnamespacestd;$
int n,T; long long S;$intn,T;longlongS;$
int w[N>>2],t,phi[N],mu[N],vis[N],c[N];$intw[N>>2],t,phi[N],mu[N],vis[N],c[N];$
inline LL F(int x){ return (LL)c[x]∗c[x]; }$inlineLLF(intx)\{return(LL)c[x]\ast c[x];\}$
inline void cal(){$inlinevoidcal()\{$
scanf("%d",&n); memset(c,S=0,sizeof c);$scanf("\mathrm{\%}d",\mathrm{\&}n);memset(c,S=0,sizeofc);$
for(int i=1;i<=n;++i) ++c[phi[i]];$for(inti=1;i<=n;++i)++c[phi[i]];$
for(int i=1;i<=n;++i)$for(inti=1;i<=n;++i)$
for(int j=i+i;j<=n;j+=i) c[i]+=c[j];$for(intj=i+i;j<=n;j+=i)c[i]+=c[j];$
for(int i=1;i<=n;++i) if(mu[i])$for(inti=1;i<=n;++i)if(mu[i])$
for(int j=1;i∗j<=n;++j)$for(intj=1;i\ast j<=n;++j)$
S+=(LL)F(i∗j)∗mu[i]∗phi[j];$S+=(LL)F(i\ast j)\ast mu[i]\ast phi[j];$
printf("%lld",S);$printf("\mathrm{\%}lld",S);$
}$\}$
int main(){$intmain()\{$
phi[1]=mu[1]=1;$phi[1]=mu[1]=1;$
for(int i=2;i<=2000000;++i){$for(inti=2;i<=2000000;++i)\{$
if(!vis[i]){ mu[w[++t]=i]=−1; phi[i]=i−1; }$if(!vis[i])\{mu[w[++t]=i]=-1;phi[i]=i-1;\}$
for(int j=1,k;(k=i∗w[j])<=2000000;++j){$for(intj=1,k;(k=i\ast w[j])<=2000000;++j)\{$
vis[k]=1;$vis[k]=1;$
if(i%w[j]==0){ phi[k]=phi[i]∗w[j]; mu[k]=0; break; }$if(i\mathrm{\%}w[j]==0)\{phi[k]=phi[i]\ast w[j];mu[k]=0;break;\}$
phi[k]=phi[i]∗(w[j]−1); mu[k]=−mu[i];$phi[k]=phi[i]\ast (w[j]-1);mu[k]=-mu[i];$
} $\}$
}$\}$
for(scanf("%d",&T);T−−;cal());$for(scanf("\mathrm{\%}d",\mathrm{\&}T);T--;cal());$
}$\}$