二叉树是树的特殊一种，具有如下特点：1、每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。
一、特殊的二叉树及特点
1、斜树
所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。这就是斜树，应用较少
2、满二叉树
所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡。
根据满二叉树的定义，得到其特点为：
- 叶子只能出现在最下一层。
- 非叶子结点度一定是2.
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。
3、完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。
其中关键点是按层序编号，然后对应查找。
在上图中，树1，按层次编号5结点没有左子树，有右子树，10结点缺失。树2由于3结点没有字数，是的6,7位置空挡了。树3中结点5没有子树。
上图就是一个完全二叉树。
结合完全二叉树定义得到其特点：
- 叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）
- 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
- 倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。
- 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。
根据下图加深理解，什么时候是完全二叉树。
三、二叉树性质
1、一般二叉树性质
1、在非空二叉树的i层上，至多有2i-1个节点(i>=1)。通过归纳法论证。
2、在深度为K的二叉树上最多有2k-1个结点（k>=1)。通过归纳法论证。
3、对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1
在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为2(n2)和1(n1)的结点了。则树的结点总数为T = n0+n1+n2;在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1.所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1;最后得到n0 = n2+1;
上图中结点总数是10，n2为4，n1为1，n0为5。
2、完全二叉树性质
a、具有n的结点的完全二叉树的深度为log2n+1.
满二叉树是完全二叉树，对于深度为k的满二叉树中结点数量是2k-1 = n，完全二叉树结点数量肯定最多2k-1,同时完全二叉树倒数第二层肯定是满的（倒数第一层有结点，那么倒是第二层序号和满二叉树相同），所以完全二叉树的结点数最少大于少一层的满二叉树，为2k-1-1。
根据上面推断得出： 2k-1-1< n=<2k-1，因为结点数Nn为整数那么n<=2k-1可以推出n<=2k ,n>2k-1-1可以推出 n>=2k-1,所以2k-1<n<=2k 。即可得k-1<=log2n<k 而k作为整数因此k=[log2n]+1。
b、如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有
1.如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整
2.如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
3.如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
在上图中验证
第一条：
当i=1时，为根节点。当i>1时，比如结点为7，他的双亲就是7/2= 3；结点9双亲为4.
第二条：
结点6,6*2 = 12>10，所以结点6无左孩子，是叶子结点。结点5，5*2 = 10，左孩子是10,结点4，为8.
第三条：
结点5，2*5+1>10,没有右孩子，结点4，则有右孩子。
四、二叉树遍历
二叉树遍历：从树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问仅且一次。
这里有两个关键词：访问和次序。
1、前序遍历
基本思想：先访问根结点，再先序遍历左子树，最后再先序遍历右子树即根—左—右。
图中前序遍历结果是：1，2，4，5，7，8，3，6。
a/前序递归遍历的代码实现，如下所示
//前序递归遍历
void PreOrderTraverse(BiTree t)
{
//注意跳出条件
if(t != NULL)
{
//注意访问语句顺序
printf("%c ", t->data);
PreOrderTraverse(t->lchild);
PreOrderTraverse(t->rchild);
}
}
前序非递归遍历:
对于任一结点p：
a. 访问结点p，并将结点p入栈；
b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；
c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。
//前序非递归遍历
int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);
BiTree tmp = t;
if(tmp == NULL)
{
fprintf(stdout, "the tree is null.
");
return ERROR;
}
//现将左子树压入栈，当到叶子结点后，出栈，获取右子树，然后在压入右子树的左子树。
//顺序不能变
while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp != NULL)
{
Push(&s, tmp);
printf("%c ", tmp->data);
tmp = tmp->lchild;
}
if(IsEmpty(&s) != 1)
{
Pop(&s, &tmp);
tmp = tmp->rchild;
}
}
return OK;
}
2、中序遍历
基本思想：先中序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树即左—根—右。
图中中序遍历结果是：4，2，7，8，5，1，3，6。
中序遍历迭代代码
//中序递归遍历
void InOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t != NULL)
{
InOrderTraverse(t->lchild);
printf("%c ", t->data);
InOrderTraverse(t->rchild);
}
}
2）中序非递归遍历
根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：
对于任一结点：
a. 若其左孩子不为空，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；
b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；
c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。
//中序非递归遍历二叉树
int NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);
BiTree tmp = t;
if(tmp == NULL)
{
fprintf(stderr, "the tree is null.
");
return ERROR;
}
while(tmp != NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp != NULL)
{
Push(&s, tmp);
tmp = tmp->lchild;
}
if(IsEmpty(&s) != 1)
{
Pop(&s, &tmp);
printf("%c ", tmp->data);
tmp = tmp->rchild;
}
}
return OK;
}
3、后序遍历
基本思想：先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后再访问根结点即左—右—根。
图中后序遍历结果是：4，8，7，5，2，6，3，1。
后序递归遍历代码实现，如下所示。
//后序递归遍历
void PostOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t != NULL)
{
PostOrderTraverse(t->lchild);
PostOrderTraverse(t->rchild);
printf("%c ", t->data);
}
}
后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中，要保证左孩子和右孩子都已被访问，并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点，这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。
要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。
//后序非递归遍历二叉树
int NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack s;
InitStack(&s);
BiTree cur; //当前结点
BiTree pre = NULL; //前一次访问的结点
BiTree tmp;
if(t == NULL)
{
fprintf(stderr, "the tree is null.
");
return ERROR;
}
Push(&s, t);
while(IsEmpty(&s) != 1)
{
GetTop(&s, &cur);//
if((cur->lchild == NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
{
printf("%c ", cur->data); //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过
Pop(&s, &tmp);
pre = cur;
}
else
{
if(cur->rchild != NULL)
{
Push(&s, cur->rchild);
}
if(cur->lchild != NULL)
{
Push(&s, cur->lchild);
}
}
}
return OK;
}
五、二叉树的建立
其实而二叉树的建立就是二叉树的遍历，只不过将输入内容改为建立结点而已，比如，利用前序遍历建立二叉树
//创建树
//按先后次序输入二叉树中结点的值(一个字符),#表示空树
//构造二叉链表表示的二叉树
BiTree CreateTree(BiTree t)
{
char ch;
scanf("%c", &ch);
if(ch == '#')
{
t = NULL;
}
else
{
t = (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
if(t == NULL)
{
fprintf(stderr, "malloc() error in CreateTree.
");
return;
}
t->data = ch; //生成根结点
t->lchild = CreateTree(t->lchild); //构造左子树
t->rchild = CreateTree(t->rchild); //构造右子树
}
return t;
}