看过电影《三傻大闹宝莱坞》的朋友都知道,在印度,人们通常认为,一流学生上印度理工学院,二流的学生才选择国外著名大学.因此,几乎所有的印度学生都将印度理工学院视为自己理想学府,并为之而奋斗.在印度的高等教育系统中,印度理工学院拥有自己独立的管理系统,其入学考试也区别于一般的大学入学考试,他们通过理工学院联合入学考试JEE (Joint Entrance Examination)来招收学生. JEE被誉为“世界上最可信的和最具竞争性的入学考试之一”,为各印度理工学院招收了大量高素质学生.每年约有 20 万考生报名参加该考试,而录取率仅为2%左右.
其初试名为“JEE Main”,每年举行两次.学生可以参加两次考试,取其中最高的成绩,在JEE Main中名列前茅的考生可参加JEE Advanced (联合入学考试复试).
JEE Advanced (以前称为IIT-JEE)是JEE考试的第二轮,通常在JEE Main考试之后进行,通常由印度理工学院七个不同的校区轮流举行.
JEE Main所有试题均为单选题,线上进行测试.
**2021年JEE Main 8月考试数学试题**
考试日期: 2021年8月26日
时间:上午9:00-12:00
1.若$$\displaystyle f\left( x \right) =\cos \left( 2\mathrm{arc}\tan \left( \sin \left( \mathrm{arc}\cot \sqrt{\frac{1-x}{x}} \right) \right) \right),$$
则
(A) $\left( 1-x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) -2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(B) $\left( 1-x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) +2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(C) $\left( 1+x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) -2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
(D) $\left( 1+x \right) ^2\cdot f'\left( x \right) +2\left( f\left( x \right) \right) ^2=0$
2.如果允许重复,使用数字$0,1,3,4,6,7$可以得到多少个三位数?
3.一个点到$(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)$这四点距离的平方和是$18$,其轨迹是一个圆.如果$d$是此圆的直径,求$d^2$.
4.若$\ln(x+y)=4xy$,求$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$在$x=0$处的取值.
5.设椭圆$\displaystyle\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$的离心率为$e$,求$5-e^2$.
6.在医院里, $89\%$的患者患有$A$型疾病, $98\%$的患者患有$B$型疾病, $K\%$的患者同时患有这两种疾病,求$K$的最大可能值和最小可能值之和.
7.已知$P(A)=p,P(B)=2p,P(\text{$A$和$B$中恰有一个发生})=\frac{5}{9}$.求$p$的最大可能值.
8.求$$\displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left[ \left( \frac{1-x}{1+x} \right) ^2+\left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^2-2 \right] dx}.$$
9.求方程$\displaystyle\frac{\cos x}{1+\sin x}=|\tan x|$在$[0,2\pi]$内解的个数.
10.若$A,AR,AR^2,AR^3,\cdots$这无穷多项的和为$15$,这些项的平方和为$150$,求$AR^2,AR^4,AR^6,\cdots$的和.
11.若复平面上$\displaystyle\arg\left( \frac{z-1}{z+1} \right) =\frac{\pi}{4}$,求平面直角坐标系下此圆的标准方程.
12.一根36个单位长的金属丝被切割成两部分,分别弯曲形成一个边长为$x$个单位的正方形的和半径为$r$个单位的圆.如果由此形成的正方形和圆的面积之和最小,求此时圆的周长.
13.求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}
\sum_{r=0}^{2n-1}\frac{n^2}{n^2+4r^2}$.
14.若$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3,\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+
\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=
\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}$,求混合积$[\overrightarrow{a}\ \overrightarrow{b}\ \overrightarrow{c}]$.
15.求$\displaystyle\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\left( \frac{1-x}{1+x} \right) ^2+\left( \frac{1+x}{1-x} \right) ^2-2}dx}$.
16.求$\displaystyle\sum_{r=0}^{20}r^2C_{20}^r$.
17.求解$(1+y)\tan^2x+\tan x\cdot y'+y=0$.
18.若$$\displaystyle y=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{2^2}{1+x^4}+\cdots+
\frac{2^{100}}{1+x^{2^{100}}},$$
求$y$在$x=2$处的值.
**2021年JEE Main 8月考试数学试题2**
考试日期: 2021年8月27日
时间:上午9:00-12:00
1.若$$\displaystyle U\left( n \right) =\left( 1+\frac{1^2}{n^2} \right) \left( 1+\frac{2^2}{n^2} \right) ^2\left( 1+\frac{3^2}{n^2} \right) ^3\cdots \left( 1+\frac{n^2}{n^2} \right) ^n,$$
求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[ U\left( n \right) \right] ^{-\frac{4}{n^2}}$.
2.若$ 0 <x<1$,求$\displaystyle\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{3}x^3+\frac{7}{4}x^4+\cdots$的和函数.
3.求$\displaystyle\sum_{n=0}^{20}{\left( C_{20}^{n} \right) ^2}$.
4.若椭圆$\displaystyle\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{4a^2}=1\ (a,b>0)$上的切线与坐标轴围成三角形面积的最小值为$Kab$,求$K$的值.
5.若线性方程组$2x-y-z=3,x+y-2z=\alpha,3x+3y-\beta z=3$有无穷多组解,求$\alpha+\beta-\alpha\beta$的值.
6. $\displaystyle\int_6^{16}{\frac{\ln x^2}{\ln x^2+\ln \left( x^2-44x+484 \right)}dx}$的值为
(A) $5$
(B) $8$
(C) $6$
(D) $10$
7.长度为$20$的金属丝被分割成两部分,一部分制成边长为$a$的正六边形,另一部分则制成正方形.如果正方形和正六边形面积之和最小,求$a$.
8.若圆的方程为$x^2+y^2+px+y(1-p)=0$,半径$r\in (0,5],q=p^2$,则满足条件的整数对$(p,q)$的个数为
(A) $16$
(B) $14$
(C) $19$
(D) $21$
9.在某个有偏差的骰子中,获得某特定正面的概率为$\displaystyle\left( \frac{1}{6}+x \right)$,反面概率为$\displaystyle\left( \frac{1}{6}-x \right)$且$0 < x<\frac{1}{6}$.获得其他各面的概率是$\frac{1}{6}$.骰子中两对立面的总和均为$7$.如果掷$2$次骰子得到和为$7$的概率是$\displaystyle\frac{13}{96}$,则$x$为
(A) $\frac{1}{8}$
(B) $\frac{1}{12}$
(C) $\frac{1}{18}$
(D) $\frac{1}{20}$
10.若$y(0)=7$且$\displaystyle\frac{dy}{dx}=2(y-2\sin x-10)x+2\cos x$,求$y(\pi)$.
11.若$\alpha,\beta$为方程$x^2+bx+c=0$的两个不同的根,求
$\displaystyle\lim _{x\rightarrow \beta}\frac{e^{2\left( x^2+bx+c \right)}-1-2\left( x^2+bx+c \right)}{\left( x-\beta \right) ^2}$.
12.若$\displaystyle\frac{z+i}{z+2i}$为实数,则$z$的轨迹为
(A) $x$轴
(B) $y$轴
(C) $y=x$
(D) $y=\frac{x}{2}$
13.抛物线在点$P(2,-4)$处的切线和法线分别与准线交于$A,B$两点. $Q(a,b)$满足四边形$APBQ$为正方形.求$2a+b$
(A) $-12$
(B) $-16$
(C) $-20$
(D) $-18$
14.若$\displaystyle y=\lg x+\lg x^{\frac{1}{3}}+\lg x^{\frac{1}{9}}+\cdots$且$\displaystyle\frac{2+4+6+\cdots+2y}{3+6+9+\cdots+3y}
=\frac{1}{9}\lg x$,则$x$和$y$的值为
(A) $x=10^5,y=8$
(B) $x=10^6,y=9$
(C) $x=10^6,y=8$
(D) $x=10^5,y=9$
15.在$\triangle ABC$中,若$\displaystyle\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin (A-B)}{\sin (A-C)}$, $a,b,c$为$\triangle ABC$的三边,则$a,b,c$满足的关系式为
(A) $c^2\left( a^2+b^2 \right) =a^2\left( c^2-b^2 \right)$
(B) $a^2\left( b^2-c^2 \right) =b^2\left( a^2-c^2 \right)$
(C) $ac\left( a^2-c^2 \right) =b^2\left( a^2-b^2 \right)$
(D) $bc\left( a^2-c^2 \right) =a^2\left( b^2-c^2 \right)$
16.已知平面方程为$x-y+z=5$,直线的方向向量为$(2,3,-6)$,则点$P(1,3,5)$沿着此直线到给定平面的距离为
(A) $2$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $3$
(D) $3\sqrt{2}$
17.对于$0< x<1$有$(\arcsin x)^2-(\arccos x)^2=a$.求$2x^2-1$
(A) $\displaystyle\sin \left( \frac{2a}{\pi} \right)$
(B) $\displaystyle\cos \left( \frac{4a}{\pi} \right)$
(C) $\displaystyle\cos \left( \frac{2a}{\pi} \right)$
(D) $\displaystyle\sin \left( \frac{4a}{\pi} \right)$
18.若$(-2,2)$满足$\displaystyle y+x\frac{dy}{dx}=x^2$,则
(A) $x^2+2xy+12=0$
(B) $x^2+2xy-12=0$
(C) $x^2+2xy+4=0$
(D) $x^3-3xy-4=0$
19. $\displaystyle\int{\frac{1}{\left( x^2+x+1 \right) ^2}dx}=$
(A) $\displaystyle\frac{4}{\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) +\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{2x-1}{x^2+x+1} \right) +C$
(B) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) -\frac{\sqrt{3}}{4}\left( \frac{2x-1}{x^2+x+1} \right) +C$
(C) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+\frac{1}{3}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} \right) +C$
(D) $\displaystyle\frac{4}{3\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)-\frac{1}{3}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1} \right) +C$
**2021年JEE (ADVANCED)数学试题一**
**第一部分**
本部分包含四个问题.
每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中只有一个是正确答案.
对于每个问题,选择与正确答案相对应的选项.
每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果选择了正确的选项,加3分;
零分:如果没有选择任何选项(即问题未回答), 0分;
负分:其它情况,减1分.
1.考虑三角形$\Delta$,它的两边位于$x$轴和直线$x+y+1=0$.如果$\Delta$的垂心是$(1,1)$,则经过三角形$\Delta$三个顶点的圆的方程为
(A) $x^2+y^2-3x+y=0$
(B) $x^2+y^2+x+3y=0$
(C) $x^2+y^2+2y-1=0$
(D) $x^2+y^2+x+y=0$
2.区域
$$
\left\{ \left( x,y \right) :0\leqslant x\leqslant \frac{9}{4},0\leqslant y\leqslant 1,x\geqslant 3y,x+y\geqslant 2 \right\}
$$
的面积为
(A) $\frac{11}{32}$
(B) $\frac{35}{96}$
(C) $\frac{37}{96}$
(D) $\frac{13}{32}$
3.考虑三个集合$E_1=\{1,2,3\},F_1=\{1,3,4\}$和$G_1=\{2,3,4,5\}$.从集合$E_1$中不放回地随机选取两个元素,用$S_1$表示这些所选元素的集合.设$E_2=E_1-S_1$和$F_2=F_1\cup S_1$.现在从集合$F_2$中不放回地随机选取两个元素,用$S_2$表示这些所选元素的集合.
设$G_2=G_1\cup S_2$.最后,从集合$G_2$中不放回地随机选择两个元素,用$S_3$表示这些所选元素的集合.
设$E_3=E_2\cup S_3$.已知$E_1=E_3$,设$p$为事件$S_1=\{1,2\}$的条件概率.则$p$的值为
(A) $\frac{1}{5}$
(B) $\frac{3}{5}$
(C) $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{2}{5}$
4.设$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{10}$为正值角度(弧度制)使得$\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_{10}=2\pi$.对于$k=2,3,\cdots,10$,定义复数$z_1=e^{i\theta_1},z_k=z_{k-1}e^{i\theta_k}$,其中$i=\sqrt{-1}$.考虑下列命题$P$和$Q$:
$$\begin{aligned}
&P:\left| z_2-z_1 \right|+\left| z_3-z_2 \right|+\cdots +\left| z_{10}-z_9 \right|+\left| z_1-z_{10} \right|\leqslant 2\pi ,
\\
&Q:\left| z_{2}^{2}-z_{1}^{2} \right|+\left| z_{3}^{2}-z_{2}^{2} \right|+\cdots +\left| z_{10}^{2}-z_{9}^{2} \right|+\left| z_{1}^{2}-z_{10}^{2} \right|\leqslant 4\pi.
\end{aligned}$$
则
(A) $P$正确, $Q$错误
(B) $Q$正确, $P$错误
(C) $P$和$Q$都正确
(D) $P$和$Q$都错误
**第二部分**
本部分包含三个题干.
每个题干对应两个问题.
每个问题的答案都是一个**数值**.
对于每个问题,使用鼠标和屏幕上的虚拟数字键盘在指定位置输入与答案对应的正确数值.
如果数值的小数位数超过两位,请将数值**截断或四舍五入**到两位小数.
每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果在指定位置只输入了正确的数值,加2分;
零分:所有其它情况, 0分.
**问题5和6的题干**
**题干**
从集合$S=\{1,2,3,\cdots,100\}$中可放回地随机选择三个数字.
设$p_1$为所选数的最大值至少为$81$的概率, $p_2$为所选数的最小值最多为$40$的概率.
5. $\frac{625}{4}p_1$的值为?
6. $\frac{125}{4}p_2$的值为?
**问题7和8的题干**
**题干**
设$\alpha,\beta$和$\gamma$为实数使得线性方程组
$$\begin{aligned}
x+2y+3z=\alpha,\\
4x+5y+6z=\beta,\\
7x+8y+9z=\gamma-1
\end{aligned}$$
有解.设$|M|$表示矩阵$M=\left[ \begin{matrix}
\alpha& 2& \gamma\\
\beta& 1& 0\\
-1& 0& 1\\
\end{matrix} \right]$的行列式.设$P$为包含所有这些$(\alpha,\beta,\gamma)$点的平面,使得上述线性方程组有解,且$D$为点$(0,1,0)$到平面$P$距离的平方.
7. $|M|$的值为?
8. $D$的值为?
**问题9和10的题干**
**题干**
考虑直线$L_1$和$L_2$,定义为
$$L_1:x\sqrt{2}+y-1=0\quad \text{和}\quad L_2:x\sqrt{2}-y+1=0.$$
对于定值$\lambda$,设$C$为点$P$的轨迹,使得$P$到$L_1$的距离和$P$到$L_2$的距离的乘积为$\lambda^2$.直线$y=2x+1$与$C$交于两点$R$和$S$,其中$R$和$S$两点间的距离为$\sqrt{270}$.
设$RS$的垂直平分线与$C$交于不同两点$R'$和$S'$.设$D$为$R'$和$S'$两点间距离的平方.
9. $\lambda^2$的值为?
10. $D$的值为?
**第三部分**
本部分包含六个问题.
每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中的**一个或多个**是正确答案.
对于每个问题,选择正确答案对应的选项.
每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:
满分:选择了正确的选项,加4分;
部分分:如果四个选项都正确,但只选择了三个选项,加3分;
部分分:如果三个或更多选项正确,但只选择了两个选项,这两个选项都正确,加2分;
部分分:如果两个或更多选项正确,但只选择了一个选项,并且该选项正确,加1分;
零分:如果未回答,得 0分;
负分:其它情况,减2分.
例如,在一个问题中,如果只有(A) (B)和(D)是与正确答案相对应的三个选项,那么
仅选择(A) (B)和(D)将获得$+4$分;
仅选择(A)和(B)将获得$+2$分;
仅选择(A)和(D)将获得$+2$分;
仅选择(B)和(D)将获得$+2$分;
仅选择(A)将获得$+1$分;
仅选择(B)将获得$+1$分;
仅选择(D)将获得$+1$分;
不选择(即问题未回答)将得到$0$分,
选择任何其他选项将获得$-2$分.
11.对于任意$3\times 3$矩阵$M$,设$|M|$表示$M$的行列式.设
$E=\left[ \begin{matrix}
1& 2& 3\\
2& 3& 4\\
8& 13& 18\\
\end{matrix} \right] ,P=\left[ \begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& 0& 1\\
0& 1& 0\\
\end{matrix} \right]$和$F=\left[ \begin{matrix}
1& 3& 2\\
8& 18& 13\\
2& 4& 3\\
\end{matrix} \right]$.
若$Q$为$3\times 3$非奇异矩阵,则以下哪些命题是正确的?
(A) $F=PEP$且$P^2=\left[ \begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1\\
\end{matrix} \right]$
(B) $\left| EQ+PFQ^{-1} \right|=\left| EQ \right|+\left| PFQ^{-1} \right|$
(C) $\left| \left( EF \right) ^3 \right|>\left| EF \right|^2$
(D) $P^{-1}EP+F$对角线元素的和等于$E+P^{-1}FP$对角线元素的和
12.设$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$定义为
$$f(x)=\frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}.$$
则以下哪些命题是正确的?
(A) $f$在区间$(-2,-1)$上递减
(B) $f$在区间$(1,2)$上递增
(C) $f$是满射
(D) $f$的值域为$\displaystyle\left[ -\frac{3}{2},2 \right]$
13.设$E,F$和$G$为三个事件,具有概率$\displaystyle P(E)=\frac{1}{8},P(F)=\frac{1}{6}$和$\displaystyle P(G)=\frac{1}{4}$,且$\displaystyle P(E\cap F\cap G)=\frac{1}{10}$.对任一事件$H$,若$H^c$表示它的对立事件,则以下哪些命题是正确的?
(A) $\displaystyle P\left( E\cap F\cap G^c \right) \leqslant \frac{1}{40}$
(B) $\displaystyle P\left( E^c\cap F\cap G \right) \leqslant \frac{1}{15}$
(C) $\displaystyle P\left( E\cup F\cup G \right) \leqslant \frac{13}{24}$
(D) $\displaystyle P\left( E^c\cap F^c\cap G^c \right) \leqslant \frac{5}{12}$
14.对于任意$3\times 3$矩阵$M$,设$|M|$表示$M$的行列式.设$I$为$3\times 3$单位矩阵.设$E$和$F$为两个$3\times 3$矩阵,使得$I-EF$可逆.若$G=(I-EF)^{-1}$,则以下哪些命题是正确的?
(A) $|FE|=|I-FE|\cdot |FGE|$
(B) $(I-FE)(I+FGE)=I$
(C) $EFG=GEF$
(D) $(I-FE)(I-FGE)=I$
15.对于任意正整数$n$,设$S_n:(0,\infty)\to \mathbb{R}$定义为
$$
S_n\left( x \right) =\sum_{k=1}^n{\mathrm{arccot} \left( \frac{1+k\left( k+1 \right) x^2}{x} \right)},
$$
其中对任意$x\in \mathbb{R}$, $\mathrm{arccot} x\in (0,\pi)$且$\displaystyle\arctan x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.则以下哪些命题是正确的?
(A) 对所有$x>0$, $\displaystyle S_{10}\left( x \right) =\frac{\pi}{2}-\arctan \left( \frac{1+11x^2}{10x} \right)$
(B) 对所有$x>0$, $\displaystyle\lim _{n\rightarrow \infty}\cot \left( S_n\left( x \right) \right) =x$
(C) 方程$\displaystyle S_3(x)=\frac{\pi}{4}$在$(0,\infty)$上有根
(D) 对所有$n\geqslant 1$和$x>0$, $\displaystyle\tan(S_n(x))\leqslant \frac{1}{2}$
16.对任意复数$w=c+id$,设$\arg(w)\in (-\pi,\pi)$,其中$i=\sqrt{-1}$.设$\alpha$和$\beta$为实数,使得对所有复数$z=x+iy$满足$\displaystyle\arg\left( \frac{z+\alpha}{z+\beta} \right)=\frac{\pi}{4}$,有序数对$(x,y)$位于圆$x^2+y^2+5x-3y+4=0$上.则以下哪些命题是正确的?
(A) $\alpha=-1$
(B) $\alpha\beta=4$
(C) $\alpha\beta=-4$
(D) $\beta=4$
**第四部分**
本部分包含三个问题.
每个问题的答案都是一个**非负整数**.
对于每个问题,使用鼠标和屏幕上虚拟数字键盘,输入与答案对应的正确整数.
每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果只输入了正确的整数,加4分;
零分:所有其它情况, 0分.
17.对于$x\in \mathbb{R}$,方程
$$3x^2-4\left|x^2-1\right|+x-1=0$$
实数根的个数为?
18.在三角形$ABC$中,设$AB=\sqrt{23}$, $BC=3$和$CA=4$.
则$\displaystyle\frac{\cot A+\cot C}{\cot B}$的值为?
19.设$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$为三维空间中的向量,其中$\overrightarrow{u}$和$\overrightarrow{v}$为互不垂直的单位向量,且$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}=1,
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=1,
\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{w}=4$.
如果相邻边由向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$表示的平行六面体的体积为$\sqrt{2}$,则$\displaystyle\left|3\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v}\right|$的值为?
看过电影《三傻大闹宝莱坞》的朋友都知道,在印度,人们通常认为,一流学生上印度理工学院,二流的学生才选择国外著名大学.因此,几乎所有的印度学生都将印度理工学院视为自己理想学府,并为之而奋斗.在印度的高等教育系统中,印度理工学院拥有自己独立的管理系统,其入学考试也区别于一般的大学入学考试,他们通过理工学院联合入学考试JEE (Joint Entrance Examination)来招收学生. JEE被誉为“世界上最可信的和最具竞争性的入学考试之一”,为各印度理工学院招收了大量高素质学生.每年约有 20 万考生报名参加该考试,而录取率仅为2%左右.
其初试名为“JEE Main”,每年举行两次.学生可以参加两次考试,取其中最高的成绩,在JEE Main中名列前茅的考生可参加JEE Advanced (联合入学考试复试).
JEE Advanced (以前称为IIT-JEE)是JEE考试的第二轮,在JEE Main考试之后进行,通常由印度理工学院七个不同的校区轮流举行.
**2021年JEE (ADVANCED)数学试题二**
**第一部分(最高分: 24)**
本部分包含六个问题.
每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中的**一个或多个**是正确答案.
对于每个问题,选择正确答案对应的选项.
每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:
满分:选择了正确的选项,加4分;
部分分:如果四个选项都正确,但只选择了三个选项,加3分;
部分分:如果三个或更多选项正确,但只选择了两个选项,这两个选项都正确,加2分;
部分分:如果两个或更多选项正确,但只选择了一个选项,并且该选项正确,加1分;
零分:如果未回答,得 0分;
负分:其它情况,减2分.
例如,在一个问题中,如果只有(A) (B)和(D)是与正确答案相对应的三个选项,那么
仅选择(A) (B)和(D)将获得$+4$分;
仅选择(A)和(B)将获得$+2$分;
仅选择(A)和(D)将获得$+2$分;
仅选择(B)和(D)将获得$+2$分;
仅选择(A)将获得$+1$分;
仅选择(B)将获得$+1$分;
仅选择(D)将获得$+1$分;
不选择(即问题未回答)将得到$0$分,
选择任何其他选项将获得$-2$分.
1.设
$$\begin{aligned}
S_1 &=\left\{ \left( i,j,k \right) :i,j,k\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},\\
S_2 &=\left\{ \left( i,j \right) :1\leqslant i< j+2\leqslant 10,i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},\\
S_3 &=\left\{ \left( i,j,k,l \right) :1\leqslant i< j < k < l,i,j,k,l\in \left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\} \right\},
\end{aligned}$$
和
$$S_4=\left\{ \left( i,j,k,l \right) :i,j,k\text{和$l$为$\left\{ 1,2,\cdots ,10 \right\}$中的不同元素} \right\}.$$
若集合$S_r$中的元素总数为$n_r$, $r=1,2,3,4$,则以下哪些命题是正确的?
(A) $n_1=1000$
(B) $n_2=44$
(C) $n_3=220$
(D) $\displaystyle\frac{n_4}{12}=420$
2.考虑三角形$PQR$,它的角$P,Q$和$R$的对边长分别为$p,q$和$r$.则以下哪些命题是正确的?
(A) $\displaystyle\cos P\geqslant 1-\frac{p^2}{2qr}$
(B) $\displaystyle\cos R\geqslant\left(\frac{q-r}{p+q}\right)\cos P+\left(\frac{p-r}{p+q}\right)\cos Q$
(C) $\displaystyle\frac{q+r}{p}<2\frac{\sqrt{\sin Q\sin R}}{\sin P}$
(D) 若$p< q$和$p< r$,则$\displaystyle\cos Q>\frac{p}{r}$和$\displaystyle\cos R>\frac{p}{q}$
3.设$\displaystyle f:\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]\to \mathbb{R}$为连续函数,使得$f(0)=1$和$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}f(t)dt=0$.则以下哪些命题是正确的?
(A) 方程$\displaystyle f(x)-3\cos 3x=0$在$\displaystyle\left( 0,\frac{\pi}{3} \right)$上至少有一个解
(B) 方程$\displaystyle f(x)-3\sin 3x=-\frac{6}{\pi}$在$\displaystyle\left( 0,\frac{\pi}{3} \right)$上至少有一个解
(C) $\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\int_0^x{f\left( t \right) dt}}{1-e^{x^2}}=-1$
(D) $\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x\int_0^x{f\left( t \right) dt}}{x^2}=-1$
4.对任意实数$\alpha$和$\beta$,设$\displaystyle y_{\alpha,\beta}(x),x\in \mathbb{R}$为微分方程$\displaystyle\frac{dy}{dx}+\alpha y=xe^{\beta x},y(1)=1$的解.设$\displaystyle S=\left\{y_{\alpha,\beta}(x):\alpha,\beta\in \mathbb{R}\right\}$.则以下哪些函数属于集合$S$?
(A) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{x^2}{2}e^{-x}+\left( e-\frac{1}{2} \right) e^{-x}$
(B) $\displaystyle f\left( x \right) =-\frac{x^2}{2}e^{-x}+\left( e+\frac{1}{2} \right) e^{-x}$
(C) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{e^x}{2}\left( x-\frac{1}{2} \right) +\left( e-\frac{e^2}{4} \right) e^{-x}$
(D) $\displaystyle f\left( x \right) =\frac{e^x}{2}\left( \frac{1}{2}-x \right) +\left( e+\frac{e^2}{4} \right) e^{-x}$
5.设$O$为原点, $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}
+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},
\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}
-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$且对某个$\lambda>0$,有
$\overrightarrow{OC}
=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}
-\lambda\overrightarrow{OA}\right)$.
若$\left|\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}\right|=\frac{9}{2}$,则以下哪些命题是正确的?
(A) $\overrightarrow{OC}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影为$-\frac{3}{2}$
(B) 三角形$OAB$的面积为$\frac{9}{2}$
(C) 三角形$ABC$的面积为$\frac{9}{2}$
(D) 以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OC}$为邻边的平行四边形的对角线所夹的锐角为$\displaystyle\frac{\pi}{3}$
6.设$E$为抛物线$y^2=8x$.设$P=(-2,4)$,并设$Q$和$Q'$是$E$上不同两点,使得直线$PQ$和$PQ'$为$E$上的切线.设$F$为$E$的焦点.则以下哪些命题是正确的?
(A) 三角形$PFQ$为直角三角形
(B) 三角形$QPQ'$为直角三角形
(C) $P$和$F$间的距离为$5\sqrt{2}$
(D) $F$在$Q$和$Q'$的连线上
**第二部分(最高分: 12)**
本部分包含三个题干.
每个题干对应两个问题.
每个问题的答案都是一个**数值**.
对于每个问题,使用鼠标和屏幕上的虚拟数字键盘在指定位置输入与答案对应的正确数值.
如果数值的小数位数超过两位,请将数值**截断或四舍五入**到两位小数.
每个问题的答案将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果在指定位置只输入了正确的数值,加2分;
零分:所有其它情况, 0分.
**问题7和8的题干**
考虑区域$\displaystyle R=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x\geqslant 0\text{和}y^2\leqslant 4-x \right\}$.设$F$为包含在$R$内所有圆心在$x$轴上的圆族.设$C$为$F$中半径最大的圆.设$(\alpha,\beta)$是圆$C$与曲线$y^2=4-x$的交点.
7.圆$C$的半径为?
8. $\alpha$的值为?
**问题9和10的题干**
设$f_1:(0,\infty)\to \mathbb{R}$和$f_2:(0,\infty)\to \mathbb{R}$定义为$\displaystyle f_1\left( x \right) =\int_0^x{\prod_{j=1}^{21}{\left( t-j \right) ^jdt}},x>0$
和$f_2(x)=98(x-1)^{50}-600(x-1)^{49}+2450,x>0$,其中对任意正整数$n$和实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$, $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}a_i$表示$a_1,a_2,\cdots,a_n$的乘积.设$m_i$和$n_i$分别表示函数$f_i,i=1,2$在区间$(0,\infty)$上极小值点和极大值点的个数.
9. $2m_1+3n_1+m_1n_1$的值为?
10. $6m_2+4n_2+8m_2n_2$的值为?
**问题11和12的题干**
设$\displaystyle g_i:\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]\to \mathbb{R},i=1,2$和$\displaystyle f:\left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]\to \mathbb{R}$为函数,使得对所有$\displaystyle x\in \left[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}\right]$,
有$g_1(x)=1,g_2(x)=|4x-\pi|$且$f(x)=\sin^2x$.
定义$\displaystyle S_i=\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}}f(x)\cdot g_i(x)dx,i=1,2$.
11. $\displaystyle\frac{16S_1}{\pi}$的值为?
12. $\displaystyle\frac{48S_2}{\pi^2}$的值为?
**第三部分(最高分: 12)**
本部分包含两段.基于每段有两个问题.
每个问题有四个选项(A), (B), (C)和(D).这四个选项中**只有一个**是正确答案.
对于每个问题,选择与正确答案相对应的选项.
每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果选择了正确的选项,加3分;
零分:如果没有选择任何选项(即问题未回答), 0分;
负分:其它情况,减1分.
**段落**
设$\displaystyle M=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:x^2+y^2\leqslant r^2 \right\}$,其中$r>0$.考虑等比数列$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^{n-1}},n=1,2,3,\cdots$设$S_0=0$,对于$n\geqslant 1$,设$S_n$为该数列前$n$项和.对于$n\geqslant 1$,设$C_n$表示圆心在$(S_{n-1},0)$,半径为$a_n$的圆,而$D_n$表示圆心在$(S_{n-1},S_{n-1})$,半径为$a_n$的圆.
13.考虑$\displaystyle r=\frac{1025}{513}$时的$M$.设$k$为$M$内所有这些圆$C_n$的个数.设$I$为这$k$个圆之间互不相交的最大可能个数.则
(A) $k+2l=22$
(B) $2k+l=26$
(C) $2k+3l=34$
(D) $3k+2l=40$
14.考虑$\displaystyle r=\frac{\left( 2^{199}-1 \right) \sqrt{2}}{2^{198}}$
时的$M$. $M$内所有那些圆$D_n$的个数为
(A) $198$
(B) $199$
(C) $200$
(D) $201$
**段落**
设$\psi_1:[0,\infty)\to \mathbb{R},\psi_2:[0,\infty)\to \mathbb{R},f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$和$g:[0,\infty)\to \mathbb{R}$为函数,使得$f(0)=g(0)=0$, $\psi_1(x)=e^{-x}+x,x\geqslant 0$, $\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2,x\geqslant 0$,
$\displaystyle f\left( x \right) =\int_{-x}^x{\left( \left| t \right|-t^2 \right) e^{-t^2}dt},x>0$和$\displaystyle g\left( x \right) =\int_0^{x^2}{\sqrt{t}e^{-t}dt},x>0$.
15.以下哪个命题是正确的?
(A) $\displaystyle f\left( \sqrt{\ln 3} \right) +g\left( \sqrt{\ln 3} \right) =\frac{1}{3}$
(B) 对于每个$x>1$,存在$\alpha\in (1,x)$,使得$\psi_1(x)=1+\alpha x$
(C) 对于每个$x>0$,存在$\beta\in (0,x)$,使得$\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
(D) $f$在区间$\left[0,\frac{3}{2}\right]$上为递增函数
16.以下哪个命题是正确的?
(A) 对于所有的$x>0$, $\psi_1(x)\leqslant 1$
(B) 对于所有的$x>0$, $\psi_2(x)\leqslant 0$
(C) 对于所有的$x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle f(x)\geqslant 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$
(D) 对于所有的$x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$, $\displaystyle g(x)\leqslant \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$
**第四部分(最高分: 12)**
本部分包含三个问题.
每个问题的答案都是一个**非负整数**.
对于每个问题,使用鼠标和屏幕上虚拟数字键盘,输入与答案对应的正确整数.
每个问题的回答将根据以下评分方案进行评分:
满分:如果只输入了正确的整数,加4分;
零分:所有其它情况, 0分.
17.从集合$\{1,2,3,\cdots,2000\}$中随机选取一个数.设$p$为该数是$3$的倍数或$7$的倍数的概率.则$500p$的值是?
18.设$E$为椭圆$\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.对于$E$上任意三个不同的点$P,Q$和$Q'$,设$M(P,Q)$是连接$P$和$Q$的线段的中点,且$M(P,Q')$是连接$P$和$Q'$的线段的中点.则当$P,Q$和$Q'$在$E$上变化时, $M(P,Q)$和$M(P,Q')$间距离的最大可能值为?
19.对于任意实数$x$,设$[x]$表示小于或等于$x$的最大整数.若$\displaystyle I=\int_0^{10}{\left[ \sqrt{\frac{10x}{x+1}} \right] dx}$,则$9I$的值为?