Nim-K游戏
描述
有$n$堆石子，每次可从$k$堆石子中拿走任意数量的石子。
两个人轮流拿，谁不能拿谁输。
先手必胜条件
把$n$堆石子的石子数用二进制表示，统计每一个二进制位上$1$的个数。
若每一位上$1$的个数$mod (k+1)$全为$0$，则先手必败，否则先手必胜。
证明
类比：
一堆石子共$n$个，每次从最少取$1$个，最多取$m$个，取走最后一个石子的人获胜。
反Nim游戏
描述
和最普通的Nim游戏相同，不过是取走最后一个石子的人输。
先手必胜条件
以下两个条件满足其一即可（事实上你并不可能同时满足233）：
所有堆的石子个数$=1$，且异或和$=0$（其实这里就是有偶数堆的意思）。
至少存在一堆石子个数$>1$，且异或和$ eq 0$。
证明
可以去看这篇博客。