DP 套 DP

DP 套 DP 学习笔记

大致内容

DP 套 DP 就是将一个简单 DP 的状态压缩起来放到新的 DP 中当做状态进行 DP 的过程。

常用于计算简单 DP 的答案为 \(k\) 的转移方案的数量。

一般都需要 decode 和 recode 操作，这里和 插头DP/轮廓线DP 有异曲同工之妙！

例题

P4590 [TJOI2018]游园会

按照以前的套路来，设 \(dp(i,j,p)\) 表示现在放完了第 \(i\) 位，有长度为 \(j\) 的公共子序列，前面两位的状态为 \(p\) 的情况数之和。假了呀！万一兑奖串中间取出一段形成公共子序列怎么办捏？

重新考虑这个题，想想假设给我们了兑奖串和奖章串，我们是如何求出 LCS 的：

设 \(dp_{i,j}\) 表示奖章串匹配到第 \(i\) 维，兑奖串匹配到第 \(j\) 位的最大 LCS 长度。

\[dp_{i,j}=\begin{cases}\max(dp_{i-1,j},dp_{i,j-1})&(a_i\not=b_j)\\dp_{i-1,j-1}+1&(a_i=b_j)\end{cases} \]

看看最开始我们的状态为什么不能够顺利转移：我们实际上是不知道匹配到了兑奖串的第几位。

那么为了最大化地保留信息，我们设 \(f_{i,state,s}\) 表示当前填到了 \(i\)，\(dp_{i,[0,k]}\) 一维数组数组状态为 \(state\)，已经和 \(\texttt{NOI}\) 匹配了 \(s\) 位的方案数。

然而 \(state\) 是一串数怎么压缩呢？（核心在此！DP 套 DP 的压缩技巧非常关键）

我们发现对于同一个 \(i\) 满足：\(dp_{i,j-1}\le dp_{i,j}\le dp_{i,j-1}+1\)，也就是说每两项之间最多相差 \(1\)。

利用这个性质可以将上面 \(dp_i\) 一位数组差分后用二进制压缩起来。

转移？我们对于一个 \(state\) 可以先还原出 \(dp_{i-1}\)，根据这一次选择的字符推出 \(dp_i\)，之后同样压缩为新的 \(state'\)，具体实现时需要预处理出每个 \(state\) 加入新字符后推出的新的 \(state'\)。

最终的时间复杂度为 \(\mathcal{O(n2^k)}\)，加上大小约为 \(9\) 的常数。