AC 自动机
AC 自动机内容与含义
AC 自动机（Aho-Corasick automaton，abbr. ACAM），诞生于贝尔实验室。
两个定义：
- 文本串：匹配别人、包含其他串的串。
- 模式串：被匹配、被包含的串。
AC 自动机是一种多模匹配算法，就是解决多个模式串匹配单个/多个文本串用的。
总的来说，AC 自动机类似将所有串变成一个连接所有串的 KMP。
AC 自动机由 Trie 树、Fail 树和连接 Trie 和 Fail 的边组成。
- Trie 树上的边表示一个串后面接上一个字符的前缀关系。
- Fail 树上的边表示一个串前面接上一个串的后缀关系，即失配关系。
- 连接 Trie 和 Fail 的边表示在不同串之间的的失配关系。
通过 Trie 树和 Fail 树，AC 自动机可以用来为多个串同时匹配。一般我们先把最长的能够匹配的模式串（在 ACAM 上找出来）求出来，那么它沿着 Fail 树向上的所有串都被匹配了一次。
AC 自动机建立
首先对于所有模式串建立 Trie 树，找到他们的 Fail 指针，代码如下：
vector<int> Fail_t[Maxn];
int ch[Maxn][26],Fail[Maxn]/*,cnt[Maxn]*/;
inline int Insert(char s[])
{
int len=strlen(s+1),x=0;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
if(ch[x][s[i]-'a']) x=ch[x][s[i]-'a'];
else ch[x][s[i]-'a']=++tot,x=tot;
}
/*cnt[x]++;*/ return x;
}
inline void get_fail()
{
queue<int> q;
for(int i=0;i<26;i++) if(ch[0][i]) q.push(ch[0][i]);
while(!q.empty())
{
int cur=q.front(); q.pop();
Fail_t[Fail[cur]].pb(cur);
for(int i=0;i<26;i++)
{
if(ch[cur][i]) q.push(ch[cur][i]),
Fail[ch[cur][i]]=ch[Fail[cur]][i];
else ch[cur][i]=ch[Fail[cur]][i];
}
}
}
但有点时候如果字符集太大了怎么办？用 map！
假设如P2336 [SCOI2012]喵星球上的点名，字符总长 \(10^5\)，字符集 \(10^4\)，我们用了 map 也不能够记完所有 Trie 与 Fail 的连接，那就只能舍去这些边，只建出 Trie 和 Fail 树。
map<int,int> Trie_t[Maxc];
vector<int> Fail_t;
void get_fail()
{
queue<int> q;
for(auto v:Trie_t[0]) q.push(v.fi);
while(!q.empty())
{
int cur=q.front(); q.pop();
Fail_t[Fail[cur]].pb(cur);
for(auto v:Trie_t[cur])
q.push(v.se),Fail[v.se]=Trie_t[cur][v.fi];
}
}
AC 自动机上的串匹配
需要注意的是，ACAM 中的串都是模式串。
P5357 【模板】AC 自动机（二次加强版）
给定 \(n\) 个模式串 \(T_i\) 和文本串 \(S\)，求每一个模式串 \(T_i\) 在 \(S\) 中的出现次数。
\(n\le 2\times 10^{5},|S|\le 2\times 10^{6},\sum{|T_i|}\le 2\times 10^{5}\)
直接给 \(T\) 建立 ACAM，\(S\) 从根开始，每走到一个节点那么这各节点到根的路径上的每一个节点（都是一个串）都在 \(S\) 中出现一次，最终每个节点上的数值就是出现次数。
由于每次都从这个节点到根标记会非常慢，所以在每个节点上标记，最终查询子树中标记个数就是出现次数。
P2414 [NOI2011] 阿狸的打字机
给定 \(n\) 个串 \(T_i\)，有 \(m\) 次询问，每次询问第 \(i\) 个串在第 \(j\) 个串中的出现次数。
\(n,m\le 10^{5},\sum{|T_i|}\le 10^{5}\)
每次将 \(i\) 当做模式串，将 \(j\) 当做文本串，假设只有一次询问，我们就会仿照上一题的套路从根开始一路标记到 \(j\) 节点。由于这个题比较特殊，\(j\) 是 ACAM 上实际存在的点，只会经过 Trie 树上的边走到，所以一路标记下来恰好是根到 \(j\) 的一条路径。
询问的时候直接查询以 \(i\) 为根的子树和即可。
如果有多次询问？可以先把询问挂到文本串下面，以 dfn 序遍历 Trie 树，每次询问以 \(i\) 为根的子树和即可（树状数组维护）。
AC 自动机上的 DP
一般都是设 \(dp(i,j,\dots)\) 表示已经接了长度为 \(i\)，当前走到第 \(j\) 个节点的状态及信息，有时还需要记下其他信息。
P4052 [JSOI2007]文本生成器
正难则反，之后仿照上面的 dp 格式基本上就做完了。
P3311 [SDOI2014] 数数
直接把数位 DP 扔上去就好了。
AC 自动机杂题
P2336 [SCOI2012]喵星球上的点名
其中有一个常见技巧：
给定 \(n\) 个模式串 \(T_i\) 和 \(m\) 个文本串 \(S_i\)，求出每个串 \(T_i\) 在多少个串 \(S_i\) 中出现过。
直接查询 \(T_i\) 的子树和会导致算重，所以对于串 \(S_i\) 走到的节点序列 \(\{a\}\)，按照 dfn 序排序，在相邻两个数的 \(Lca\) 处减去贡献，可以避免算重的情况。