计算几何初步

两点之间距离

欧氏距离

即欧几里得距离。

平面内两点的距离为

[sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} ]

立体空间内两点的距离为

[sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} ]

(dots)

(n) 维空间内两点的距离为

[sqrt{sum_{i=1}^{n}{(x_1-x_2)^2}} ]

曼哈顿距离

二维空间内，两点之间距离为

[d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| ]

(n) 维空间内两点的距离为

[sum_{i=1}^{n}{|x_1-x_2|} ]

性质 (-) 三角形不等式：从点 (i) 到 (i) 的直接距离不会大于途经的任何其它点 (k) 的距离。

[d(i,j)le d(i,k)+d(k,j) ]

切比雪夫距离

二维空间内，两点之间距离为

[d(A,B)=min{(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)} ]

曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化

设 (A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)) ，

• 曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转 (45^circ) 后，再缩小到原来的一半得到的

• 把每个点 ((x,y)) 转化为 ((x+y,x-y)) ，新坐标系下的切比雪夫距离 就是 原坐标系下的曼哈顿距离 。

• 把每个点 ((x,y)) 转化为 ((dfrac{x+y}{2},dfrac{x-y}{2})) ，新坐标系下的曼哈顿距离 就是 原坐标系下的切比雪夫距离 。

例题

P5098 [USACO04OPEN]Cave Cows 3

对于式子 (|x_1-x_2|+|y_1-y_2|) ，可以假设 (x_1-x_2ge 0) ，根据 (y_1-y_2) 正负分类讨论：

• (y_1-y_2ge 0) ：

[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)=(x-1+y_1)-(x_2+y_2) ]

• (y_1-y_2< 0) ：

[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=(x_1-x_2)+(y_2-y_1)=(x-1-y_1)-(x_2-y_2) ]

分别求出 (x+y) 和 (x-y) 的最大、最小值之差即可。

P4648 [IOI2007] pairs 动物对数 （曼哈顿距离转切比雪夫距离）

P3964 [TJOI2013]松鼠聚会 （切比雪夫距离转曼哈顿距离）

向量叉积

对于点对 ((A,B,C)) ，设：

(x_1=A_x-B_x,y_1-A_y-B_y,x_2=C_x-B_x,y_2=C_y-B_y)

若：

[(x_1 imes y_2-x_2 imes y_2)>0 ]

则：

若：

[(x_1 imes y_2-x_2 imes y_2)<0 ]

则：

因此我们就可以利用叉积来维护凸包以及多边形面积。

点的旋转

让点 ((x_1,y_1)) 绕点 ((x_2,y_2)) 旋转 (t^o) :

(x=(x_1-x_2) imes cos{t}-(y_1-y_2) imes sin{t}+x_2)

(y=(x_1-x_2) imes sin{t}+(y_1-y_2) imes cos{t}+y_2)