• 算法总结之矩阵入门


    算法总结之矩阵入门

    定义

      矩阵:

        矩阵是矩形的数组,例如

                                            

      矩阵的转置:

        交换矩阵A的行和列获得的矩阵是矩阵A的转置AT,例如

                                         

      对称矩阵:

        A=AT

      单位矩阵:

        对角线元素均为1的n*n的矩阵为n*n单位矩阵In:

                

    矩阵的基本操作

      矩阵的加法:

        如果A=(aij) B=(bij)是m*n的矩阵,那么两者的矩阵和C=(cij)=A+B也是一个m*n的矩阵。并定义

              cij=aij+bij

      矩阵的乘法:

        给定2个相容的矩阵A和B,即A的列数等于B的行数。即如果A=(aik)为m*n的矩阵,B=(bkj)为n*p的矩阵,那么他们的积C=AB是一个m*p的矩阵。

             cij=sum(aik*bkj)  (k=1 to n)

        特别的

             (1)ImA=AIn=A

             (2)A0=A

             (3)A(BC)=(AB)C  结合律

             (4)A(B+C)=AB+AC 分配律

             (5)不满足交换律

    矩阵的逆:

        定义n*n的矩阵A的逆为A-1(如果存在)为满足AA-1=In=A-1A的n*n的矩阵。

            

        许多非零的n*n的矩阵没有逆矩阵,一个没有逆的矩阵称为不可逆的,或者奇异的。

             

        如果逆矩阵存在,那么唯一存在。

    线性有关&线性无关:

        如果存在不全为零的相关系数:c1,c2,c3,,,cn,使得c1x1+c2x2+...cnxn=0,则成向量x1,x2,x3...xn线性相关。

        如果向量组不是线性相关,则为线性无关。

    矩阵的秩:

        非零m*n矩阵A的列秩是A的最大线性无关列集合的大小。同理,行秩为A的最大线性无关行集合的大小。

        任意矩阵A的行秩等于列秩。统称为秩即可。

        一个m*n的矩阵的秩是[0,min(m,n)]内的整数。

        如果一个n*n的矩阵的秩为n,则它是满秩的。如果一个m*n的矩阵的秩为n,则它是列满秩的。

        补充定理:

        (1)一个方阵是满秩的,当且仅当该方阵是非奇异的。

    未完待续。。。

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