GMA Round 1 新年的复数

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新年的复数

　　已知$left{egin{matrix}A>B>0\ AB=1\ (A+B)(A-B)=2sqrt{3}end{matrix} ight.$

　　求$(A+Bi)^{2018}$

　　　　$(A+Bi)^{2018}$

　　$=[(A+Bi)^2]^{1009}$

　　$=(A^2-B^2+2ABi)^{1009}$

　　$=(2sqrt{3}+2i)^{1009}$

　　$=4^{1009}*(frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i)^{1009}$

　　$=2^{2018}*(frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i)$

　　$=2^{2017}*(sqrt{3}+i)$

　　其中$(frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i)^{12}=(cosfrac{pi}{6}+sinfrac{pi}{6}*i)^{12}=1$

　　每个向量在复平面上对应一个角度(与x轴的夹角)，向量相乘相当于模长相乘，角度旋转。举例来说，x,y,z为复数，如果xy=z，那么|z|=|x||y|，z对应角度相当于x对应角度逆时针旋转了y的角度。$(A+Bi)^2$对应的角度是30°，模长是4，因此答案的模长是$4^1009$，角度是从x轴逆时针旋转1009*30°，对360取模后是30°。

　　定位：中等题