数列求和(Hard)
在数列{$a_n$}中，$a_1=-frac{1}{4}$，$frac{1}{a_{n+1}}+frac{1}{a_n}=egin{cases}-3（n为偶数）\3（n为奇数） end{cases}$
当n趋近于正无穷时，求{$a_n$}的前n项和。
由泰勒公式得
$$frac{1}{1+x^3}=1-x^3+x^6-x^9+……+(-1)^nx^{3n}+……(xin(-1,1))$$
对两端从0到t进行积分得
$$int_{0}^{t}frac{1}{1+x^3}dx$$ $$=int_{0}^{t}dx-int_{0}^{t}x^3dx+……$$ $$=t-frac{t^4}{4}+frac{t^7}{7}-……+(-1)^nfrac{t^{3n+1}}{3^n+1}+……$$
又
$$int_{0}^{t}dx=frac{1}{3}lnfrac{t+1}{sqrt{t^2-t+1}}+frac{sqrt{3}}{3}arctanfrac{2sqrt{3}t-sqrt{3}}{3}+frac{sqrt{3}}{18}pi$$
由莱布尼茨审敛法知$sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{1}{3n+1}$收敛
令t=1得
$$sum_{n=1}^{infty}a_i=sum_{n=1}^{infty}(-1)^nfrac{1}{3n+1}=frac{1}{3}ln2+frac{sqrt{3}}{9}pi-1$$
定位：困难题、超纲题