染色法判断二分图

写的很菜 ， 欢迎建议、补充

二分图的定义

图G=(V,E)，顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。-----百科

就是当一个东西可以分成两半的时候，你可以问自己一下这满足不满足二分图的性质。

解释的很草率 ↑    ，   题解里向来都是说 ： "显而易见这是二分图"， 我也不好这么说 ， 题做得还少， 这几天多练练没准就找到手感了 。

当你定好了解题的方向，那么如何判定这个是二分图呢 。

染色法 。

需要两种颜色，我们从任意点开始染色， 把与其相邻的点染成与它相反的颜色 ， 整个图染完色之后，如果满足相连的两个点颜色都不同， 那么就可以断定它是二分图了 ， 如果发现相连点颜色相同 ，那就满足不了二分图的定义了。  

这个染色过程通过BFS或者DFS实现。

下面贴个BFS代码  ， DFS同理。

void connect(int x,int y)//拿邻接表存的图，用vector也可以。 
{
    pre[++cnt]=last[x];
    other[cnt]=y;
    last[x]=cnt;
} 
void BFS(int x)
{
    queue <int>q;
    q.push(x);
    color[x]=1;            //BFS染色 
    while(!q.empty())
    {
        int tmp=q.front();
        q.pop();
        for(int i=last[tmp];i;i=pre[i])
        {
            int to=other[i];
            if(to==tmp)continue;
            if(color[to]==color[tmp]){        //发现相邻点的颜色相等，于是这个图不是二分图 
                exit(0);
            }
            else{
                color[to]=1^color[tmp];        //把相邻点涂成相反的颜色，然后把这个点加入队列 
                q.push(to);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    memset(color,-1,sizeof(color));
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(color[i]==-1)BFS(i);                //=、= 
}

判断二分图的代码就这样↑

 

下面给道可爱的例题

NOIP2008  双栈排序 (可以在LuoguP1155提交)

戳链接https://www.luogu.org/problem/show?pid=1155看题面，就不粘贴了

这个题就是有一个序列，给你两个栈，通过进栈退栈输出一个排序的序列 

(按理来说肯定不能纯模拟做，虽然题解里有一个超级长的纯模拟代码)

联想到二分图，我们应该去思考如何把这些数分成两部分，分别放进两个栈里

下面我们要考虑怎样的两个元素可以放到一个栈里面，

显然的 ，当i<j<k ， a[k]<a[i]<a[j]，i和j是不能放到同一个栈里的 ，于是i，j就可以构成图的两个子集的一条边 

我们枚举出来所有的i，j 进行连边，

    for(int i=N-1;i>=1;i--)sufmin[i]=min(sufmin[i+1],a[i+1]);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=i+1;j<=N;j++)
            if(a[i]<a[j]&&a[i]>sufmin[j]){
            connect(i,j);connect(j,i);
        }

之后利用上面的染色法判定二分图，就可以把所有的数分成两部分，再进行简单的模拟，就可以得到答案了。

如果不是这个不是二分图，那就说明无解。

 

先写这么多了，很啰嗦求见谅，学了新的再加内容。