扩展 KMP

简介

对于一个长度为 (n) 的字符串 (s)，定义函数 (z[i]) 表示 (s) 和 (s[i,n-1]) （即以 (s[i]) 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度。(z) 被称作为 (s) 的 Z 函数。特别地，(z[0]=[0])。

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。

样例

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

• (z( ext{aaaaa})=[0,4,3,2,1])
• (z( ext{aaabaab})=[0,2,1,0,2,1,0])
• (z( ext{abacaba})=[0,0,1,0,3,0,1])

线性算法

在该算法中，我们从 (1) 到 (n−1) 顺次计算 (z[i]) 的值(（z[0]=0）)。在计算 (z[i]) 的过程中，我们会利用已经计算好的 (z[0],…,z[i−1])。

对于 (i)，我们称区间 ([i,i+z[i]−1]) 是 (i) 的 匹配段，也可以叫 Z-box。

举例：

对于 (z( ext{abacaba})=[0,0,1,0,3,0,1]:)

• (i=2) 时，匹配段为 ([2,2])，即字符 a。
• (i=4) 时，匹配段为 ([4,6])，即子串 abc。

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便，记作 ([l,r])。根据定义，(s[l,r]) 是 (s) 的前缀。在计算 (z[i]) 时我们保证 (l≤i)。初始时 (l=r=0)。

在计算 (z[i]) 的过程中：

• 如果 (i≤r)，那么根据 ([l,r]) 的定义有 (s[i,r]=s[i−l,r−l])，因此 (z[i]≥min(z[i−l],r−i+1))。这时：
  • 若 (z[i−l]<r−i+1)，则 (z[i]=z[i−l])。
  • 否则 (z[i−l]≥r−i+1)，这时我们令 (z[i]=r−i+1)，然后暴力枚举下一个字符扩展 ([i]) 直到不能扩展为止。
• 如果 (i>r)，那么我们直接按照朴素算法，从 (s[i]) 开始比较，暴力求出 (z[i])。
• 在求出 (z[i]) 后，如果 (z[i]>r)，我们就需要更新 ([l,r])，即令 (l=i,r=i+z[i]−1)。

代码

设小串（模式串）为 (B)，大串（文本串）为 (A)。

本代码中 (z[0]=|B|)。

求 (z) 数组：

void getZ()
{
    z[0] = lenb;
    int now = 0;
    while (now + 1 < lenb && B[now] == B[now + 1])
        now++;
    z[1] = now;
    int p0 = 1;
    for (int i = 2; i < lenb; ++i)
    {
        if (i + z[i - p0] < p0 + z[p0])
        {
            z[i] = z[i - p0]; //第一种情况
        }
        else
        {
            now = p0 + z[p0] - i;
            now = max(now, 0);
            while (now + i < lenb && B[now] == B[now + i])
                now++;
            z[i] = now;
            p0 = i;
        }
    }
}

求 (B) 与 (A) 的每一个后缀的 LCP 长度数组:

void exkmp()
{
    int now = 0;
    while (now < lenb && now < lena && B[now] == A[now])
        now++;
    ext[0] = now;
    int p0 = 0;
    for (int i = 1; i < lena; ++i)
    {
        if (i + z[i - p0] < p0 + ext[p0])
            ext[i] = z[i - p0];
        else
        {
            now = p0 + ext[p0] - i;
            now = max(now, 0);
            while (now < lenb && now + i < lena && B[now] == A[now + i])
                now++;
            ext[i] = now;
            p0 = i;
        }
    }
}

复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 (r) 向后移至少 (1) 位，而 (r<n−1)，所以总共只会执行 (n) 次。

对于外层循环，只有一遍线性遍历。

总复杂度为 (O(n))。