首先很明显题目暗示我们先求出符合条件的戒指数量，再计算出由这些戒指能够构成的项链的个数，因此考虑分别计算它们。首先是计算符合条件的戒指数量，题目中“可以通过旋转重合的戒指视作相同”可以让我们联想到 Polya 定理，具体来说根据 Polya 那套理论，符合条件的戒指个数就是 (C=dfrac{1}{m}sumlimits_{dmid n}R^dvarphi(dfrac{n}{d}))，(mathcal O(sqrt{n})) 地枚举因子并计算 (varphi) 即可。注意这里 (m) 有可能是 (3214567) 的倍数，对于这种情况，我们考虑将模数变成 (3214567^2)，这样计算完之后除以 (m) 这一步可以先令乘上 (dfrac{m}{3214567}) 在模 (3214567^2) 意义下的逆元，然后答案除以 (3214567)（虽然似乎数据没有这样的情况？）
接下来考虑此题的第二部分，如何通过符合条件的戒指数量 (C) 计算项链个数，一个很 naive 的想法是 (C·(C-1)^{n-1})，不过由于“纪念品两侧戒指不同”这一条件的存在，这个想法是错误的。正确的方法是，设 (f_i) 表示长度为 (i) 的满足条件的项链个数，我们考虑从纪念品一侧的戒指开始，给 (i) 枚戒指分别标号 (1,2,3,cdots,i)，那么我们考虑分 (1) 和 (i-1) 戒指相同 与 (1) 和 (i-1) 戒指不同这两类进行处理，对于 (1,i-1) 戒指不同的情况，如果我们把戒指 (i) 拿掉，其余戒指组成了长度为 (i-1) 的符合条件的项链，而由于 (1,i-1) 戒指不同，第 (i) 个戒指的方案数就是 (C-2)，总方案数 (f_{i-1}·(C-2))，对于 (1,i-1) 戒指相同的情况，由于 (i-2,i-1) 相邻，(i-2,i-1) 戒指必定不同，故 (1,i-2) 对应的戒指也不同，因此如果我们把 (i-1,i) 戒指拿掉，那剩余 (i-2) 个戒指还是可以组成长度为 (i-2) 的符合条件的项链，这部分的贡献也就是 (f_{i-2}·(C-1))。因此我们可以得到递推式 (f_i=f_{i-1}·(C-2)+f_{i-2}·(C-1))，边界条件 (f_1=0,f_2=C(C-1))，直接暴力推是 (mathcal O(n)) 的，无法通过，不过很明显对于这样 (f_i=af_{i-1}+bf_{i-2}) 的递推式，我们可以通过特征根方程优化，具体来说我们求出 (x^2=ax+b) 的两根 (alpha,eta)，那么 (f_i) 统统可以表示为 (Aalpha^i+Beta^i) 的形式。此题也不例外，代入 (a=C-2,b=C-1) 可得特征根方程两根 (alpha=-1,eta=C-1)，再代入 (f_1=0,f_2=C(C-1)) 可得 (A=(C-1),B=1)，因此 (f_i=(C-1)(-1)^n+(C-1)^n)。
u1s1 感觉此题和这题出奇地相似，题解写得也出奇地相似（
ll n,MMOD=MOD;int m,r;
ll getmul(ll x,ll y){return (__int128_t)(1)*x*y%MMOD;}
int qpow(int x,ll e){
int ret=1;
for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
return ret;
}
ll _qpow(int x,int e){
ll ret=1;
for(;e;e>>=1,x=getmul(x,x)) if(e&1) ret=getmul(ret,x);
return ret;
}
void exgcd(ll x,ll y,ll &a,ll &b){
if(!y) return a=1,b=0,void();exgcd(y,x%y,a,b);
ll tmp=a;a=b;b=tmp-(x/y)*b;
}
ll getinv(ll a,ll mod){
ll x,y;exgcd(a,mod,x,y);
return (x+mod)%mod;
}
int getphi(int x){
int res=x,tmp=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++) if(tmp%i==0){
res=res/i*(i-1);
while(tmp%i==0) tmp/=i;
} if(tmp>1) res=res/tmp*(tmp-1);
return res;
}
int main(){
scanf("%lld%d%d",&n,&m,&r);ll ret=0;
bool flg=0;if(m%MOD==0) flg=1,MMOD=1ll*MOD*MOD;
for(int i=1;i*i<=m;i++) if(m%i==0){
ret=(ret+getmul(_qpow(r,i),getphi(m/i)))%MMOD;
if(m/i!=i) ret=(ret+getmul(_qpow(r,m/i),getphi(i)))%MMOD;
} ret=1ll*ret*getinv((flg)?(m/MOD):m,MMOD)%MMOD;
if(flg) ret/=MOD,ret%=MOD;
printf("%d
",(1ll*(ret-1)*qpow((MOD-1),n)%MOD+qpow(ret-1,n))%MOD);
return 0;
}