MIT Linear Algebra#7 Applications

图和网络

图是一些工程问题的抽象，比如电路网络：

我们可以用(A_{54})表示图中的信息，每行代表一条边，每列代表一个结点，1表示电流流入，-1表示流出：

[A=egin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -1 & 1 \ end{bmatrix} ]

(edge3=edge1+edge2)，前三行线性相关，在图中表现为形成环路。
我们比较关注(A)的零空间，也即如何组合各列以得到零列(Ax=0)，即：

[Ax=egin{bmatrix} x_2-x_1\ x_3-x_2\ x_3-x_1\ x_4-x_1\ x_4-x_3\ end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ end{bmatrix} ]

根据前面的学习，(dim(N(A))=n-r(A)=4-3=1)，并且可以求出零空间：(x=cegin{bmatrix} 1\ 1\ 1\ 1\ end{bmatrix})，如果(x_i)表示结点(i)的电势，那么从结果可以看出来四个点等电势，一旦确定某个点的电势(接地为0)，即可确定其余各点。

再研究一下(A)的左零空间，即(A^Ty=0)，(dim(N(A^T))=m-r(A)=5-3=2)，不妨看看转置后的鬼样子：

[egin{bmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \ end{bmatrix}egin{bmatrix} y_1\ y_2\ y_3\ y_4\ y_5\ end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ end{bmatrix} ]

变为简化行阶梯(R)就会发现：pivot col是第一列、第二列和第四列，对应到图中的三条边，可以看到是没有环路的，实际上是一棵最小生成树。如果用(y_i)表示边(i)的电流值，不妨写出这个方程组：

[egin{cases} -y_1-y_3-y_4=0& ext{结点1流出之和为0}\ y_1-y_2=0& ext{结点2流入流出相等}\ y_2+y_3-y_5=0& ext{...}\ y_4+y_5=0& ext{...} end{cases}]

类似地，可以求出这个左零空间的一组基：

[egin{bmatrix} 1\ 1\ -1\ 0\ 0\ end{bmatrix}、egin{bmatrix} 0\ 0\ 1\ -1\ 1\ end{bmatrix} ]

这组基对应到图中也是很明确的：第一个向量对应回路1(边1/2/3)的电流，第二个向量对应回路2(边3/4/5)的电流，当然也可以选择大的回路作为基的一个组成。
由此也可以看出：(dim(N(A^T))=m-r=#loops=#edges-(#nodes-1))，这也就是著名的欧拉公式：(#nodes-#edges+#loops=1)。

回顾整个过程：

• 通过电势求得电势差：(Ax=e)；
• 通过欧姆定律(y=Ce)可以求得结点间的电流值(y_i)；
• 通过(A^Ty=0)验证了Kirchhoff's current law。
  如果有外接电流源，那么整个过程可以描述为(A^TCAx=f)。

马尔可夫矩阵

马尔可夫模型最初是研究人口迁徙的模型，马尔可夫矩阵有2个特点：

• (a_{ij}>0)
• 每一列和为1

我们要研究随着时间变化，人口最终的分布情况，即稳态。
根据一阶差分(u_k=A^ku_0=c_1lambda_1^kx_1+c_2lambda_2^kx_2+...)，马尔可夫矩阵有一个特征值为1，其余的绝对值都小于1，那么最终的稳态就是(c_1x_1)。
举例来看：

[egin{bmatrix} u_{cal}\ u_{mass}\ end{bmatrix}_{t=k+1}=egin{bmatrix} 0.9 & 0.2\ 0.1 & 0.8\ end{bmatrix}egin{bmatrix} u_{cal}\ u_{mass}\ end{bmatrix}_{t=k},u_0=egin{bmatrix} 0\ 1000\ end{bmatrix} ]

矩阵表示加州的人有0.9留在加州，0.1迁徙到麻省。求得(A)的特征值和特征向量，再用(u_0)求得系数(c)，就可以得到(u_k)。

傅里叶级数

我们知道，向量空间内任意向量都可以表示为一组标准正交基的线性组合：

[v=x_1q_1+x_2q_2+...+x_nq_n=Qx,x=Q^{-1}v=Q^Tv ]

那么对于任意的函数(f(x))，也可以表示为一组正交基的线性组合：

[f(x)=a_0*1+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos(2x)+b_2sin(2x)+... ]

这组基(1,cosx,sinx,cos(2x),sin(2x),...)是正交的，即：

[f^Tg=int_0^{2pi} f(x)g(x) dx=0 ]

要求得级数得系数，比如(a_1)，只要等式两边同乘(cosx)并积分即可：

[int_0^{2pi} f(x)cosx dx=int_0^{2pi} a_1cos^2(x) dx ]

复矩阵

复向量(Z=egin{bmatrix} z_1\ ...\ z_n\ end{bmatrix})的模(||Z||^2=ar Z^TZ=||z_1||^2+...+||z_n||^2)，内积也变为共轭转置(ar y^Tx)。
复数意义下的对称是(ar A^T=A)，也叫Hermitian矩阵；
复数意义下的正交是(ar q_i^Tq_j=egin{cases} 0,i eq j\ 1,i=j\ end{cases})，这样组成的正交阵(ar Q^TQ=I)，(Q)也叫unitary矩阵。