Dynamic Programming

DP是算法学习中非常重要的一种思想，关于动态规划的解释，可以参考这篇文章。

0 概念

使用DP三个条件：

1. 最优子结构：待解决的问题可以被分解为若干子问题，并且递归地找到子问题的最优解；
2. 重叠子问题：在解决子问题的过程中，很多子问题都会被求解多次，第一次计算后存储该子问题的解，以后就可以直接使用，即降低了时间复杂度。如果子问题没有重叠，那么这就是分治的问题；
3. 无后效性：子问题的最优解是确定的，完全可以用来解决更大的子问题。

DP一般有两种形式：

• Top-down: 记忆化递归可能stackoverflow
• Bottom-up

模板：

// 记忆化递归
unordered_map<int, int> hash;               // memory dict

int f(i, j, ...) {
	if base_case(i, j)
		return ...;
	if (i, j) not in hash
		hash[(i, j)] = ...;
	return hash[(i, j)];
}

return f(n, m);

// DP
int dp[][];   // need padding sometimes
dp[0][0] = ...;   // base case

for(int i = 0;i < n;++i)
	for(int j =  0;j < m;++j)
		dp[i][j] = ...                // 状态转移

return dp[n][m]; 

1 分类

• Fibonacci(House Thief, Jump Game)
• 0/1 Knapsack
• Unbounded Knapsack
• Shortest Path(Unique Paths I/II)
• Longest Common Substring/Subsequeunce
• ......

2 步骤

一般来讲，都是通过暴力->记忆化递归->Bottom-up三部曲，当然熟悉后可以快速判断这是一个DP问题，然后直接写出Bottom-up的解法。
我个人认为最难的一步在于判断出你的暴力解法满足DP的性质（你要能认出来这是一个DP问题），可以用DP去优化暴力解法。

• 确定问题分类
• 确定状态：需要几个变量来跟踪目前的状态，一般来讲至少需要index，因为这决定了我们已经考虑过了哪些值，没考虑哪些值，正在考虑哪些值。选定的变量组合要能唯一确定一个状态
• 状态转移：为了达到base case，当前状态怎么才能由之前的状态得到。也就是Top-down逐渐分解问题，每一次递归调用都会分解一下
• base case：一般比较简单，不废话了
• code：思路清楚了，也不难
• 优化：一般优化空间复杂度

3 Ref

DP IS EASY! 5 Steps to Think Through DP Questions.