BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数论，解方程】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

 科普视频

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

【分析】：

样例图示：

首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。

有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

【时间复杂度分析】：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

下面给出AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-');
        x=-x;
    }
    if(x>9)
    {
        write(x/10);
    }
    putchar(x%10+'0');
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
inline bool check(ll y,double x)
{
    if(x==floor(x))//判断整点
    {
        ll x1=(ll)floor(x);
        if(gcd(x1*x1,y*y)==1&&x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)==1&&A!=B
            return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    ll R;
    R=read();
    ll ans=0;
    for(ll d=1;d<=(ll)sqrt(2*R);d++)//1<=d^2<=2R
    {
        if((2*R)%d==0)
        {
            for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(2*R/(2*d));a++)//2*a^2<2*R/d
            {
                double b=sqrt(((2*R)/d)-a*a);
                if(check(a,b))
                    ans++;
            }
            if(d!=(2*R)/d)
            {
                for(ll a=1;a<=(ll)sqrt(d/2);a++)//2*a^2<=d
                {
                    double b=sqrt(d-a*a);
                    if(check(a,b))
                        ans++;
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld
",ans*4+4);
    return 0;
}