统计0到n之间1的个数[数学,动态规划dp](经典，详解)

问题描述

给定一个十进制整数N,求出从1到N的所有整数中出现”1”的个数。 

例如：N=2时 1,2出现了1个 “1” 。

N=12时 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个“1”。

方法一 暴力求解

最直接的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来，就得到了问题的解。

下面给出代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int n,x,t;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            t=i;
            while(t)
            {
                if(t%10==1)
                    ++ans;
                t=t/10;
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

该算法的时间复杂度为O(N*lgN)

(注：此方法对较大的数据有可能会TL)

解法二 

1位数的情况：

在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

 2位数的情况：

N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

 3位数的情况:

N=123

个位出现1的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121

十位出现1的个数为20:10~19,110~119

百位出现1的个数为24:100~123

 我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况： 

假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位一下的数字。

如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 * 100。

如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

综合以上分析，写出如下代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int CountOne(int n) {
    int cnt = 0;
    int i = 1;
    int current = 0, after = 0, before = 0;
    while ((n / i) != 0) {
        current = (n / i) % 10;
        before = n / (i * 10);
        after = n - (n / i) * i;
        if (current > 1)
            cnt = cnt + (before + 1) * i;
        else if (current == 0)
            cnt = cnt + before * i;
        else if (current == 1)
            cnt = cnt + before * i + after + 1;
            i = i * 10;
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n){
        int res=CountOne(n);
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}