几种素数筛法

　　素数的求解是数论题目中频繁遇到的问题，下面介绍几种求 n 以内的素数的算法

全局定义：

const int n = ?;        //n范围
const int ma = ?;        //素数个数
bool nu[n];            //标记数组
int phi[ma];            //存素数
        

1、较为高效的筛法

　　思想：从 2 开始，即标记数组为0（或为1），当标记数组为 0（或1） 时，该数为素数，把素数的倍数筛掉。此算法缺陷在于会重复筛选有不同素数因子的合数（比如说6，被2筛一次，又被3筛一次）

代码：

void prime1()            //因为标记的时候会出现大量重复
{
    memset(nu, 0, sizeof(nu));
    int k = 0;
    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(!nu[i])
        {
            phi[k++] = i;
            for(int j = i*i; j < n; j += i)
                nu[j] = 1;
        }
}

2、线性筛法

　　线性筛法就是为了避免重复筛掉同一个合数。思想是：从2 开始遍历，遇到素数就记录下来，当 i 遍历到为前面已经存储的素数的倍数的时候，就跳出循环，这样不仅可以筛选出所有素数，而且避免了重复。

代码：

void prime2()        //线性筛法
{
    memset(nu, 0, sizeof(nu));
    int k = 0;
    for(int i = 2; i < n; ++i)
    {
        if(!nu[i])    phi[k++] = i;
        for(int j = 0; (j<k && i*phi[j]<n ); ++j)
        {
            nu[i*phi[j]] = 1;
            if(i%phi[j] == 0)    break;
        }
    }
}

优化：

优化原理：除了2以外，所有素数都是奇数，所以排除2以后，i 就可以不管偶数了，值得注意的是，排除 2 之后，nu[4] 要清除标记。

代码：

void prime3()    //线性筛法改良
{
    memset(nu, 0, sizeof(nu));
    int  k = 1;
    phi[0] = 2, nu[4] = 1;
    for(int i = 3; i < n; i += 2)
    {
        if(!nu[i])    phi[k++] = i;
        for(int j = 0; (j<k && i*phi[j]<n); ++j)
        {
            nu[i*phi[j]] = 1;
            if(i%phi[j] == 0)    break;
        }
    }
}