LOJ #2183「SDOI2015」序列统计

有好多好玩的知识点

LOJ

题意：在集合中选$ n$个元素(可重复选)使得乘积模$ m$为$ x$，求方案数对$ 1004535809$取模

$ n<=10^9，m<=8000且是质数，集合大小不超过m$

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$ Solution:$

我们先考虑改乘积为加和之后怎么做

直接对于集合中的数构建生成函数

所要求的就是这个生成函数的$ n$次幂的所有模$ m$为$ c$的项的系数的和

用快速幂优化这个生成函数的$ n$次幂

每次乘法之后立刻把$ [m,2m)$的系数加回$[0,m)$

这样可以保证每时每刻生成函数的长度不超过$ m$

就可以直接$ NTT$优化这个过程了

时间复杂度为$ O(m log m log n)$

然后考虑乘积的情况

我们知道$ x^ax^b=x^{a+b}$

尝试把每个数改成某个底数的若干次方

由于$ m$是质数一定存在原根

原根有性质是它的$[0,phi(m))$在模$ m$意义下互不相同

这样就可以直接把每个集合中的数改成$ m$的原根的若干次方就好了

然后就是加和情况的做法

复杂度不变

注意可能要特判原集合中存在$ 0$的情况

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 $ my code$

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define p 1004535809
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar();
    while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('
');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt,c,yg;
int a[100010],val[8555];
namespace NTT{
    int ksm(int x,int y){
        int ans=1;
        for(rt i=y;i;i>>=1,x=1ll*x*x%p)if(i&1)ans=1ll*x*ans%p;
        return ans;
    }
    vector<int>R;
    void NTT(int n,vector<int>&A,int fla){
        A.resize(n);    
        for(rt i=0;i<n;i++)if(i>R[i])swap(A[i],A[R[i]]);
        for(rt i=1;i<n;i<<=1){
            int w=ksm(3,(p-1)/2/i);
            for(rt j=0;j<n;j+=i<<1){
                int K=1;
                for(rt k=0;k<i;k++,K=1ll*K*w%p){
                    const int x=A[j+k],y=1ll*K*A[i+j+k]%p;
                    A[j+k]=(x+y)%p,A[i+j+k]=(x-y)%p;
                }
            }
        }
        if(fla==-1){
            reverse(A.begin()+1,A.end());
            int invn=ksm(n,p-2);
            for(rt i=0;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*invn%p;
        }
    }
    void mul(int del,int n,vector<int>&A){
        NTT(n,A,1);
        for(rt i=0;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*A[i]%p;
        NTT(n,A,-1);
        for(rt i=del;i<n;i++)(A[i%del]+=A[i])%=p,A[i]=0;
    }
    void calc(int n,vector<int>&A,int y,int pl){
        int lim=1;
        while(lim<=n*2+2)lim<<=1;
        R.resize(lim);A.resize(lim);
        for(rt i=1;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
        vector<int>ans;ans.resize(lim);
        ans[0]=1;
        for(rt i=y;i;i>>=1,mul(n,lim,A))if(i&1){
            NTT(lim,ans,1);NTT(lim,A,1);
            for(rt j=0;j<lim;j++)ans[j]=1ll*ans[j]*A[j]%p;
            NTT(lim,ans,-1);NTT(lim,A,-1);
            for(rt j=n;j<lim;j++)(ans[j%n]+=ans[j])%=p,(A[j%n]+=A[j])%=p,ans[j]=0,A[j]=0;
        }
        writeln((ans[pl]+p)%p);
    }
};
vector<int>A,B;
using namespace NTT;
int main(){
    n=read();m=read();c=read();k=read();
    A.resize(m+1);
    for(rt i=2;i<=m;i++){
        for(rt j=1,k=i;j<m-1;j++,k=1ll*k*i%m)if(k==1)goto GG;
        yg=i;break;
        GG:;
    }
    for(rt i=0,j=1;i<m-1;i++,j=1ll*yg*j%m)val[j]=i;
    for(rt i=1;i<=k;i++){
        x=read();if(x)A[val[x]]++;
    }
    calc(m-1,A,n,val[c]);
    return 0;
}