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${x^{2}+y^{2}=r^{2} }$
${Rightarrow y^{2}=(r-x)(r+x)}$
令${d=gcd(r-x,r+x)}$
则${y^{2}=d^{2}*frac{r+x}{d}*frac{r-x}{d}}$
再令${A=frac{r+x}{d}}$,${B=frac{r-x}{d}}$
则${y^{2}=d^{2}*A*B}$
考虑${y^{2}}$是完全平方数，${d^{2}}$是完全平方数，又${gcd(A,B)=1}$那么${A,B}$都是完全平方数。
设${A=a^{2}}$,${B=b^{2}}$
${A+B=a^{2}+b^{2}}$
${Rightarrow frac{2*r}{d}=a^{2}+b^{2}}$
考虑枚举${frac{2*r}{d}}$，这一步的复杂度是${O(sqrt{r})}$的，然后再在${left [ 1,sqrt{2*frac{r}{d}}/2 ight ]}$的范围内枚举${a}$，进而可以算出${A,b,B}$,然后判断${A,B}$是否互质，$B$是否为完全平方数，这样子就算出了第一象限的答案，然后将$ans*4+4$,算是统计了每一个象限的并且加上了坐标轴上的四个点。
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<cstring> 7 #include<queue> 8 #include<vector> 9 #include<map> 10 using namespace std; 11 #define llg long long 12 #define maxn 100010 13 #define yyj(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout); 14 llg ans,n; 15 inline llg getint() 16 { 17 llg w=0,q=0; char c=getchar(); 18 while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); 19 if (c=='-') q=1, c=getchar(); while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); 20 return q ? -w : w; 21 } 22 23 void calc(llg d) 24 { 25 for (llg a=1;a<=sqrt(d/2);a++) 26 { 27 llg A=a*a,B=d-A,b=sqrt(B); 28 if (b*b==B && __gcd(A,B)==1 && A!=B) ans++; 29 } 30 } 31 32 int main() 33 { 34 yyj("circle"); 35 cin>>n; 36 for (llg i=1;i<=sqrt(n*2);i++) 37 if ((2*n%i)==0) 38 { 39 calc(i); 40 calc(2*n/i); 41 } 42 cout<<ans*4+4; 43 return 0; 44 }