时间复杂度

传送门①：关于计算时间复杂度和空间复杂度

传送门②：关于时间复杂度的详解

一、定义

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

1）时间频度 

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道算法花费的时间多少（魔镜魔镜告诉我，那个算法是跑得快的算法0.0）
一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2）时间复杂度 

n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n))
称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
注意，时间频度与时间复杂度是不同的，时间频度不同但时间复杂度可能相同。
如：T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2)。

二、常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

● 常数阶 - O(1)
● 对数阶 - O(log2n)
● 线性阶 - O(n)
● 线性对数阶 - O(nlog2n)
● 平方阶 - O(n^2)
● 立方阶 - O(n^3)
● k次方阶 - O(n^k)
● 指数阶 - O(2^n)

其中，

① O(n)，O(n^2)， 立方阶 O(n^3)，......， k次方阶 O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度......
② O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用
③ 对数阶 O(log2n)，线性对数阶 O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高