全错位重排

全错位重排

基本简介

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信全都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

 

解法：

       将这n封信从1到n进行编号得到1、2、3……号码，同理将信封也从1到n进行编号，将n封信与信封错位的方法记作S。

       1.当n=1时，由于只有1封信，所以无论如何都不会错位，所以此时S=0；

       2.当n=2时，只能将1号信装进2号信封，2号信装进1号信封，因而S=1；

       3.当n=3时有（此处的编号为信的编号，所在位置为信封的编号）：①3 1 2

                                                                                                                  ②2 3 1

         故此时S=2；

       4.同理可以推出S=9；

       ……

       当n较小时我们可以通过和上面一样枚举得到，，n=6时就已经是256了，枚举时一不小心错了一种就会翻车，所以当n比较大时枚举就行不通了，接下来就看下递推数列法：

显然D1=0，D2=1。当n>=3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n，也就是1<=k<=n-1。那么考虑第n位的情况。

·  当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。

·  当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为D_n-1。

所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：

Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)

得到递推的公式之后，我们再通过累加法可以推得全错位重排的通项公式为：

 

Dn=n!*(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n/n!)

然后将其简化（供参考）可得Dn=[n!/e+0.5]，其中e是自然常数，[]为向下取整。

对于该简化公式可以通过e的麦克劳林展开式（泰勒公式）推导出来：

 

e^x =1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! + Rn(-1)

其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0).

所以，D(n) = n! *e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).

而|n! Rn| =|(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1时，该余项（的绝对值）也小于1/2。

 

这题还可以通过容斥定理推出：

正整数1,2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n!= ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,

这与我们上面通过递推得到的形式相同！

这个通项公式我们还可以通过二项式反演、多项式模拟推出，大家如果感兴趣的话可以自行百度，我就不在此阐述了~

例题：

下面我们就来看一道全错位重排的题吧~（也是全错位重排的递归代码）

题目链接：https://www.nowcoder.net/acm/contest/78/G

题目描述：

  在家好冷!

又多冷呢？

大概是零下e度!

为什么是零下e度呢?

不知道，因为我编不下去了。

  求给定一个数n，求出最接近n!/e的整数

 

输入描述:

一行一个整数n1<=n<=10^8

 

输出描述:

一行一个整数，即题目描述中所求，由于这个数字可能很大，我们只需要知道mod998244353后的结果（出题人负责任地告诉你，这个数字是个质数）

 

示例1

输入

6

 

输出

265

 

示例2

输入

87

 

输出

158005593

 

示例3

输入

16777216

 

输出

16065816

 

解析：本题的n!/e就是错位重排的简化公式去掉余项，因而可以通过递推得到。我一开始是想靠打表过的，最后发现自己的空间一直比题目限制的大1K，看了别人的代码之后才发现并不需要打表，就在输入后面用for即可，emmmm

下面是我的代码：

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        long long ans,a=0,b=1;
        if(n==1){
            printf("%lld
",a);
        }
        else if(n==2){
            printf("%lld
",b);
        }
        else{
            for(int i=3;i<=n;i++){
                ans=((i-1)*(a+b)%998244353)%998244353;
                a=b;
                b=ans;
            }
            printf("%lld
",ans);
        }
    }
}