【2019杭州集训12.09】向量

Description

• 给定一棵 $n$ 个节点的树，点的标号为 $1..n$，边有边权。
• 记 $d(u, v)$ 为 $u$ 到 $v$ 的路径上边的权值和，对于每个节点 $u$，你需要给出一个 $m$ 维
  向量 $pu =${ $p_{u,1}, .., p_{u,m}$ }。
  使得对于任意点对 $u,v$，满足 $d(u, v) = max{|p_{u,i} − p_{v,i}|}$。
  
• $n<=1000$

Solution

• 刚开始看错题意了QwQ，没有注意到向量的位置是对应的。
• 暴力的构造一个答案的方法就是直接以每一个点为根多一维，每一个点在这一维的值即为它的深度。
• 我们可以通过调整根的选择和正负号来使得维数最少。
• 点分治。点分治的每一层就是每一维，最后的维数就是层数。
• 每一次将儿子分成尽量均匀的两块，一边是 $-dep，$一边是$dep$，这样子这两边互相就可以满足了，这样就只用考虑子问题了。
• 不同的两块可能在这一维有共点。直接给边赋权值，从一个点开始统一就好了。
• 注意到会不会子问题的答案之间互相影响会不会超过两两的距离。实际上是每条边的*+1或-1加在一起，肯定不会超过全部正或全部负。
• 那么一共有多少层呢？
• 结论是每一次至少分n/3.
• 首先重儿子的大小<=n/2，如果最大重儿子sz>=n/3，得证。如果最大重儿子sz<n/3，那么每多一个儿子在n/3以内，最后平均的大小是不会超过2*n/3的，得证。
• 每一次大小至少乘2/3，对于1000正好有16层。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 1005
using namespace std;

int n,i,j,k,x,y,z;
int em,e[maxn*2],nx[maxn*2],ls[maxn],ec[maxn*2],h[20][maxn*2];
int bz[maxn],ans[20][maxn];

void insert(int x,int y,int z){
	em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em; ec[em]=z;
	em++; e[em]=x; nx[em]=ls[y]; ls[y]=em; ec[em]=z;
}

int g,sz[maxn],All;
void Getg(int x,int p){
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p&&!bz[e[i]])
		Getg(e[i],x),sz[x]+=sz[e[i]],mx=max(mx,sz[e[i]]);
	mx=max(mx,All-sz[x]);
	if (mx<=All/2) g=x;
}

void Getsz(int x,int p){
	sz[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p&&!bz[e[i]])
		Getsz(e[i],x),sz[x]+=sz[e[i]];
}

int tot;
struct node{int x,sz;} A[maxn];
int cmp(node a,node b){return a.sz>b.sz;}

int nowdep,maxdep;
void Cover(int x,int p,int k){
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (!bz[e[i]]){
		if (e[i]==p) h[nowdep][i]=-k*ec[i],h[nowdep][i^1]=k*ec[i];
		else Cover(e[i],x,k);
	}
}

int d0[20][maxn],d1[20][maxn];
void Doit(int now,int all,int depth){
	if (all==1) {bz[now]=1;return;}
	int i; maxdep=max(maxdep,depth);
	All=all,Getg(now,0);
	Getsz(g,0);
	for(tot=0,i=ls[g];i;i=nx[i]) if (!bz[e[i]])
		tot++,A[tot].x=e[i],A[tot].sz=sz[e[i]];
	sort(A+1,A+1+tot,cmp);
	int sum0=0,sum1=0; nowdep=depth;
	d0[depth][0]=d1[depth][0]=0;
	for(i=1;i<=tot;i++) if (sum0<sum1)
		sum0+=A[i].sz,d0[depth][++d0[depth][0]]=A[i].x,Cover(A[i].x,g,1);
	else sum1+=A[i].sz,d1[depth][++d1[depth][0]]=A[i].x,Cover(A[i].x,g,-1);
	
	int nowg=g;
	if (all-sum0>2){
		for(i=1;i<=d0[depth][0];i++) bz[d0[depth][i]]=1;
		Doit(nowg,all-sum0,depth+1);
		for(i=1;i<=d0[depth][0];i++) bz[d0[depth][i]]=0;
	}
	
	if (all-sum1>2){
		for(i=1;i<=d1[depth][0];i++) bz[d1[depth][i]]=1;
		Doit(nowg,all-sum1,depth+1);
		for(i=1;i<=d1[depth][0];i++) bz[d1[depth][i]]=0;
	}
}

void DFS(int x,int p,int D,int tp){
	ans[tp][x]=D;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) if (e[i]!=p)
		DFS(e[i],x,D+h[tp][i],tp);
}

int main(){
	freopen("ceshi.in","r",stdin);
	freopen("ceshi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(em=1,i=1;i<n;i++) 
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),insert(x,y,z);
	Doit(1,n,1);
	for(i=1;i<=maxdep;i++) DFS(1,0,0,i);
	printf("%d
",maxdep);
	for(j=1;j<=n;j++,printf("
")) for(i=1;i<=maxdep;i++) printf("%d ",ans[i][j]);
}