基础静态主席树 POJ

主席树裸题 POJ - 2104【K-th Number】

https://cn.vjudge.net/contest/304073#problem/A

题意

给定 n 个数和 m 次询问， 每次查询 [l, r] 区间内第 K 小的数是多少。

分析

这很主席树。主席树，名字源于发明者 HJT （%%%）。主席树算是线段树的变种，被称为可持久化线段树，可以保存和查询更新的历史版本，每一次都会生成一棵新的权值线段树（指线段树的叶子节点保存的是当前值的个数）。

当然我们不可能每次都重新建立新树，通过观察可以发现，每次进行单点更新的时候，发生变化的只有从 根节点 到 当前叶子节点 这一条链上的节点。利用这样的性质，对于每次的更新，我们只需要建立一个新的根节点，然后递归需要新建（更新）的节点。

划分树也可以解决区间第k大问题，但划分树不支持修改，主席树可以（用树状数组维护）。

我们只要建立[1, i]（ i 是 1-n 之间的所有值）的所有树，每当询问 [l, r] 时，只要用 [1, r] 的树减去 [1, l-1] 的树，再找第k小就可以了。

最初只要建立一个空树，也就是不必每个节点都建立一个空树。插入元素时，我们不去修改任何的结点，而是返回一个新的树。因为每个节点都不会被修改，所以可以不断的重复用，因此插入操作的复杂度为 (O(log(n))) 。总的复杂度为 (O((n+m)log(n)log(new\_n))) 。

代码

裸题的板子还是写的思路清晰一点好。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, cnt, x, y, k;
int root[maxn], a[maxn];  // root保存的是历史版本根节点
vector<int> v;      // 保存去重后的数组
struct node {
    int l, r, sum;
} T[maxn * 40];        // 线段树*4、主席树*40

int getid(int x) {  // 获取每次更新的节点的“位置”
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
}

void update(int l, int r, int &x, int y, int pos) {
    T[++cnt] = T[y];	// 继承上一棵树
    T[cnt].sum ++;		// 权值
    x = cnt;
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) / 2;
    if (mid >= pos)
        update(l, mid, T[x].l, T[y].l, pos);
    else
        update(mid + 1, r, T[x].r, T[y].r, pos);
}

int query(int l, int r, int x, int y, int k) {
    if (l == r)
        return l;
    int mid = (l + r) / 2;
    int sum = T[T[y].l].sum - T[T[x].l].sum;	// 根据所求进行修改
    if (sum >= k)
        return query(l, mid, T[x].l, T[y].l, k);
    else
        return query(mid + 1, r, T[x].r, T[y].r, k - sum);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        v.push_back(a[i]);
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());	// 去重
    int new_n = (int)v.size();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        update(1, new_n, root[i], root[i - 1], getid(a[i]));
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
        printf("%d
", v[query(1, new_n, root[x - 1], root[y], k) - 1]);
    }
    return 0;
}

HDU - 4417【Super Mario】 主席树 + 二分

https://cn.vjudge.net/contest/304073#problem/F

题意

t 组数据，给定 n 个数和 m 次询问， 每次查询 [l, r] 区间内有多少数比 x 小。

分析

这题的代码和上一题几乎一致，既然需要寻找多少数比 x 小，那么只要在给定的区间内二分找第 k 小的值 temp （满足 temp_max <= x），所得到的就是小于该值的数的数量。

ps：区间端点为 [0, n-1]。

代码

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, m, cnt, new_n;
int a[maxn];
int root[maxn];
vector<int> v;
struct node {
    int l, r, sum;
}T[maxn*40];

void init() {
    cnt = 0;
    memset(root, 0, sizeof(root));
    for(int i = 0; i < 40*n; i++) {
        T[i].l = T[i].r = T[i].sum = 0;
    }
}

int getid(int x) {
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
}

void update(int l, int r, int &x, int y, int pos) {
    T[++cnt] = T[y];
    T[cnt].sum ++;
    x = cnt;
    if(l == r) {
        return ;
    }
    int mid = (l+r) / 2;
    if(mid >= pos) {
        update(l, mid, T[x].l, T[y].l, pos);
    }
    else {
        update(mid+1, r, T[x].r, T[y].r, pos);
    }
}

int query(int l, int r, int x, int y, int k) {
    if(l == r) {
        return l;
    }
    int mid = (l+r) / 2;
    int sum = T[T[y].l].sum - T[T[x].l].sum;
    if(sum >= k) {
        return query(l, mid, T[x].l, T[y].l, k);
    }
    else {
        return query(mid+1, r, T[x].r, T[y].r, k-sum);
    }
}

int solve(int x, int y, int z) {
    int l = x;
    int r = y;
    int res = -1;
    while(l <= r) {
        int mid = (l+r) / 2;
        int temp = v[query(1, new_n, root[x-1], root[y], mid-x)-1];
        if(temp <= z) {
            l = mid + 1;
            res = max(res, mid-x);
        }
        else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    if(v[query(1, new_n, root[x-1], root[y], y-x+1)-1] <= z) {
        return y-x+1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int t, cas = 1;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        init();
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            v.push_back(a[i]);
        }
        sort(v.begin(), v.end());
        v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
        new_n = (int)v.size();
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            update(1, new_n, root[i], root[i-1], getid(a[i]));
        }
        printf("Case %d:
", cas++);
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            int x, y, z;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            int ans = solve(x+1, y+1, z);
            printf("%d
", ans);
        }
    }
    return 0;
}