定义
对于一个正整数 (n) ,若完全分解之后不存在指数 (=1) ,则称 (n) 为 ( ext{Powerful Number}) 。
可以发现的是,在 ([1,n]) 中,( ext{Powerful Number}) 的数量是 (sqrt n) 级别的。
Powerful Number 在求积性函数前缀和中的应用
假设给出积性函数 (f(x)) 要求 (sum_{i=1}^{n} f(i)),我们可以考虑引入一个拟合函数 (g(x)) 使得 (forall xin mathbb{P},g(x)=f(x)) 且 (g(x)) 亦为积性函数。同时,我们还需要保证 (g(x)) 的前缀和是一个好求的东西。
令 (h=f imes g^{-1}),那么我们就有:
[sum_{i=1}^{n} f(i)=sum_{i=1}^{n} h(i)sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{i}
floor} g(j)
]
而我们在质数 (p) 处存在 (f(p)=h(p)+g(p)=g(p)),所以 (h(p)=0),那么也就是说所有非 ( ext{Powerful Number}) 的 (h) 均为 (0) 。所以我们就可以暴力搜索找出 ([1,n]) 中的 ( ext{Powerful Number}) ,然后求个前缀和就好了。