二次剩余小记

看 ( ext{yyb}) 的博客看到的，发现似乎并没有想象中的那么难，就学了一下，过了板题，这里记录一下，暂时还是只会二次剩余， (n) 次剩余暂时先放一下。

模数为奇素数

下文的 (p) 即是模数。

我们称 (n) 为模 (p) 意义下的二次剩余当且仅当存在 (x) 使得 (x^2equiv npmod p,xin mathbb{N}) 。下文的 (mathbb{N}) 其实是自然数集。

• 引理1

((A+B)^pequiv A^p+B^ppmod{p})

• 证明

显然只需要说明 (dbinom{p}{i}equiv0pmod p,s.t. 1le ile p-1)，然后我们发现如果 (p) 是个奇素数的话，那么分子里面的 (p) 就没有办法消去，于是就得证了。

• 引理2

(n^{frac{p-1}{2}}equiv 1pmod p)

是 (n) 是模 (p) 意义下的二次剩余的充要条件。

• 证明

必要性 ：设 (x^2equiv npmod p)，那么有 (x^{p-1}equiv 1pmod p) ，证毕。

充分性 ：显然。

---

接下来，我们考虑随机出一个 (a) 使得 (a^2-n) 不是一个二次剩余，这样的期望尝试次数大概为 (2)，再设 (i^2=a^2-n) ，这里的 (i) 显然就不属于 (mathbb{N}) ，我们把它视作虚数之类的东西就好了。然后我们发现就有个性质：

• 性质

[i^{p-1}equiv -1pmod p ]

证明 ：首先我们知道 ((i^2)^{frac{p-1}{2}}equiv (a^2-n)^{frac{p-1}{2}} otequiv 1pmod p) （因为 (a^2-n) 不是一个二次剩余），然后又有 ((i^2)^{p-1}equiv 1pmod p)，所以 (i^{p-1}equiv -1pmod p)。

---

我们可（bu）以（neng）发现：

[(a+i)^{p+1}equiv (a+i)^p(a+i)equiv(a^p+i^p)(a+i)equiv (a-i)(a+i) ]

[equiv a^2-i^2equiv npmod p ]

就是说 ((a+i)^{p+1}equiv npmod p)，所以说 (sqrt nequiv (a+i)^{frac{p+1}{2}}pmod p)。

可能有人有疑问，((a+i)^{frac{p+1}{2}}) 有没有可能不是一个整数，显然如果你保证有解的话它显然就是一个整数。

( exttt{Code})

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

int p,sqri;

int qkpow (int a,int b){
	int res = 1;for (;b;b >>= 1,a = 1ll * a * a % p) if (b & 1) res = 1ll * res * a % p;
	return res;
}
int mul (int a,int b){return 1ll * a * b % p;}
int dec (int a,int b){return a >= b ? a - b : a + p - b;}
int add (int a,int b){return a + b >= p ? a + b - p : a + b;}

struct node{
	int real,imag;
	node (int _real,int _imag) : real (_real) , imag (_imag) {}
	node operator * (node b){return node (add (1ll * real * b.real % p,1ll * imag * b.imag % p * sqri % p),add (1ll * real * b.imag % p,1ll * b.real * imag % p));}
	node operator + (node b){return node (add (real,b.real),add (imag,b.imag));}
	node operator ^ (int b){node a = *this,res = node (1,0);for (;b;b >>= 1,a = a * a) if (b & 1) res = res * a;return res;}
};

bool check_if_qs (int n){//判断是否是一个二次剩余 
	return qkpow (n,(p - 1) >> 1) == 1;
}

bool tryit (int n){
	if (n == 0){
		puts ("0");
		return 1;
	}
	int a = rand ();sqri = dec (mul (a,a),n);
	if (!a || !check_if_qs (sqri)){
		int x0 = (node (a,1) ^ (p + 1 >> 1)).real;
		int x1 = p - x0;if (x0 > x1) swap (x0,x1);
		write (x0),putchar (' '),write (x1),putchar ('
');
		return 1;
	}
	else return 0;
} 

signed main(){
	int T;read (T);
	while (T --> 0){
		int n;read (n,p);
		if (!check_if_qs (n) && n) puts ("Hola!");
		else while (1) if (tryit (n)) break;
	}
	return 0;
}