【BZOJ-1898】Swamp 沼泽鳄鱼矩阵乘法

1898: [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼

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Description

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

Input

输入文件共M + 2 + NFish行。第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……； 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……； 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

Output

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。【约定】 1 ≤ N ≤ 50  1 ≤ K ≤ 2,000,000,000  1 ≤ NFish ≤ 20

Sample Input

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

Sample Output

2

【样例说明】
时刻 0 1 2 3
食人鱼位置 0 5 1 0
路线一 1 2 0 5
路线二 1 4 3 5

HINT

Source

Solution

矩阵乘法求K步之后S到T点路径方案数经典题。

至于鱼的影响，就相当于去掉一条边。

然后矩阵乘法需要矩阵相同，但是这里不同时刻矩阵是不同的。

我们发现每12次为一个周期，是相同的。

所以我们记录12次为一个矩阵。然后我们计算$ANS=A_s^{K/12}$

对于剩下的$Kmod12$，直接暴力累乘。

答案就是$ANS[S][T]$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x;
}
#define P 10000
#define size 51
int N,M,S,T,K,F,f[21][5];
struct Matrix{int a[size][size]; Matrix() {memset(a,0,sizeof(a));}};
inline Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix C;
    for (int k=1; k<=N; k++)
        for (int i=1; i<=N; i++)
            if (A.a[i][k])
                for (int j=1; j<=N; j++)
                    if (B.a[k][j])
                        (C.a[i][j]+=(A.a[i][k]*B.a[k][j])%P)%=P;
    return C;
}
inline Matrix operator ^ (Matrix A,int k)
{
    Matrix re; for (int i=1; i<=N; i++) re.a[i][i]=1;
    for (int i=k; i; i>>=1,A=A*A) if (i&1) re=re*A;
    return re;
}
Matrix A[13],ANS,An;
int main()
{
    N=read(); M=read(); S=read()+1; T=read()+1; K=read();
    for (int x,y,i=1,j; i<=M; i++) 
        for (x=read()+1,y=read()+1,j=1; j<=12; j++) A[j].a[x][y]=A[j].a[y][x]=1;
    F=read();
    for (int i=1,j; i<=F; i++)
        for (j=1,f[i][0]=read(); j<=f[i][0]; j++) f[i][j]=read()+1;
    for (int i=1; i<=F; i++)
        for (int j=1,k,x; j<=12; j++)
            for (k=1,x=f[i][j%f[i][0]+1]; k<=N; k++) A[j].a[k][x]=0;
    for (int i=1; i<=N; i++) A[0].a[i][i]=1;
    for (int i=1; i<=12; i++) A[0]=A[0]*A[i];
    ANS=A[0]^(K/12);
    for (int i=1; i<=K%12; i++) ANS=ANS*A[i];
    printf("%d
",ANS.a[S][T]);
    return 0;
}

说好水题不发博客....

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