【BZOJ-4326】运输计划 树链剖分 + 树上差分 + 二分

4326: NOIP2015 运输计划

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Description

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。L 国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L 国的所有星球。小 P 掌管一家物流公司， 该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞， 试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n

Output

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5

Sample Output

11

HINT

将第 1 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。

将第 2 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。

将第 3 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。

将第 4 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。

将第 5 条航道改造成虫洞： 则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。

故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。

Source

Solution

要求最长路径最短，考虑二分

二分答案mid，然后思考如何check这个答案。

首先，如果一条路径M，他的长度是<=mid 那么他对答案是无影响的，如果他的长度>mid我们显然需要删掉这条路径上的一条边。而且，如果删掉这条边后，答案mid可行，那么删掉的这条边权必然 满足：>=dis-mid

那么一次二分mid，会得到K条dis>mid的路径，那么要使mid满足答案，我们需要删的边应该是这K条路径的交

求交的方法，只需要在树上打上差分标记。最后DFS一遍。

这里D20和UOJ的ET会卡常，实测效果特别优秀的卡常语句：

这样的时间复杂度是$O（nlogn）$的

求LCA的方法，比较推荐链剖、Tarjan

启发：这种树上差分的思想比较重要，一定要能想到

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x;
}
#define MAXN 300010 
int N,M;
struct EdgeNode{int next,to,t;}edge[MAXN<<1];
int head[MAXN],cnt=1; 
void AddEdge(int u,int v,int w) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].t=w;}
void InsertEdge(int u,int v,int w) {AddEdge(u,v,w); AddEdge(v,u,w);}
int size[MAXN],fa[MAXN],deep[MAXN],son[MAXN],top[MAXN],tim[MAXN];
inline void DFS_1(int now,int last)
{
    size[now]=1;
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last)
            {
                deep[edge[i].to]=deep[now]+edge[i].t;
                fa[edge[i].to]=now;
                tim[edge[i].to]=edge[i].t;
                DFS_1(edge[i].to,now);
                size[now]+=size[edge[i].to];
                if (size[edge[i].to]>size[son[now]]) son[now]=edge[i].to;
            }
}
inline void DFS_2(int now,int chain)
{
    top[now]=chain;
    if (son[now]) DFS_2(son[now],chain);
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=fa[now] && edge[i].to!=son[now])
            DFS_2(edge[i].to,edge[i].to);
}
inline int LCA(int u,int v)
{
    while (top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            u=fa[top[u]];
        }
    if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);
    return u;
}
struct RoadNode
{
    int u,v,lca,dis;
    RoadNode (int u=0,int v=0) : u(u),v(v)
        {lca=LCA(u,v); dis=deep[u]+deep[v]-(deep[lca]<<1);}
}road[MAXN];
int delta[MAXN];
inline void DFS(int now,int last)
{
    for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].to!=last)
            DFS(edge[i].to,now),delta[now]+=delta[edge[i].to];
}
inline bool check(int x)
{
    int maxx=0,num=0;
    for (int i=1; i<=N; i++) delta[i]=0;
    for (int i=1; i<=M; i++)
        if (road[i].dis>x)
            maxx=max(maxx,road[i].dis-x),num++,
            delta[road[i].u]++,delta[road[i].v]++,delta[road[i].lca]-=2;
    if (!num) return 0;
    DFS(1,0);
    for (int i=1; i<=N; i++) 
        if (delta[i]==num && tim[i]>=maxx) return 0;
    return 1;
} 
int main()
{
    N=read(); M=read();
    for (int u,v,w,i=1; i<=N-1; i++) u=read(),v=read(),w=read(),InsertEdge(u,v,w);
    DFS_1(1,0); DFS_2(1,1);
    int maxx=0;
    for (int i=1; i<=M; i++) road[i]=RoadNode(read(),read()),maxx=max(maxx,road[i].dis);
//    for (int i=1; i<=M; i++) printf("%d %d %d %d
",road[i].u,road[i].v,road[i].lca,road[i].dis);
    int l=0,r=maxx;
    while (l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if (check(mid)) l=mid+1; else r=mid-1;
        }
    printf("%d
",l);
    return 0;
}