UVA1378 A Funny Stone Game —— SG博弈

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-1378

题意：

两个人玩游戏，有n堆石子，两人轮流操作：于第i堆石子中取走一块石子，然后再往第j、k堆中各添加一块石子。其中 i<j, j<=k。最后一次操作的为赢家，问先手能否必胜，如果能，请输出第一步操作。

题解：

1.把每个石子都看成是一个子游戏，所以在第i堆的其中一个石子，它的下一步为第j堆和第k堆；即这个子游戏又可以分解为两个子游戏。

2.由于在同一堆里的石子状态完全相同，所以当这堆石子的个数为偶数时，他们的SG值异或和为0；当个数为奇数时，他们的SG值异或和即为单独一个石子的SG值。

3.那么怎么求在第i堆里一个石子的SG值呢？一般情况下子游戏的下标是较小的，而处于第i堆的石子游戏又可以分解为处于第j、k石子的子游戏，然后i是小于j、k的，所以我们就把下标翻过来，这样就满足的SG的求值过程。初始状态为SG[0] = 0，即位于第0堆时，无法操作，即无后续状态，所以 SG[0] = mex{} = 0。

4.至于输出第一步，枚举ijk，得到一个必败状态即可。为何是必败状态？因为先手是处于必胜状态，当先手操作了一轮之后，轮到后手，而后手就处于必败状态。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 30+10;

int a[MAXN], SG[MAXN], vis[1000];

void getSG()
{
    SG[0] = 0;
    for(int i = 1; i<MAXN; i++)
    {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for(int j = 0; j<i; j++)
            for(int k = 0; k<=j; k++)
                vis[SG[j]^SG[k]] = 1;   //下一个状态，由两个子游戏组成，故异或。

        for(int j = 0;;j++) if(!vis[j]) {
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

int main()
{
    getSG();
    int n, kase = 0;
    loop:
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        int val = 0;
        for(int i = 0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            if(a[i]%2) val ^= SG[n-1-i];    //当个数为奇数时，才有效
        }

        printf("Game %d: ", ++kase);
        for(int i = 0; i<n-1; i++)  //枚举、模拟第一步操作
        {
            if(a[i]==0) continue;   //如果这堆没有石子，那就不能取了。
            for(int j = i+1; j<n; j++)
            for(int k = j; k<n; k++)   //取走i堆一块石子，往j、k堆中各加一个石子，即撤销i堆中一个子游戏
                if((val^SG[n-i-1]^SG[n-1-j]^SG[n-1-k])==0){ //j、k堆中增加一个游戏。异或的作用是：有则去之无则添之。
                    printf("%d %d %d
", i, j, k);
                    goto loop;
                }
        }
        printf("-1 -1 -1
");
    }
    return 0;
}