UVA1635 Irrelevant Elements —— 唯一分解定理 + 二项式定理

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-1635

（紫书320）

题解：

1.根据二项式定理， 可得递推公式： C(n,k) = (n-k+1)/k * C(n, k-1)

2.某一项与余数(%m)无关， 即表明该项的的系数是m的倍数， 由于 1<=n<=1e5, 直接运算的话肯定溢出。

所以 ：将数字进行分解质因数， 记录质因子以及其个数。由于题目只需判断某项的系数是否为m的倍数， 所以只需要考虑m所拥有的质因子。

3.fac[i]记录m的质因数， num_m[i]记录m的质因数fac[i]的个数， num_c[i]记录二项式系数（动态）的质因数fac[i]的个数。

4.对于所有的i， 如果num_c[i] >= num_m[i] 则表明此系数是m的倍数， 即此项与余数无关。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a, b)  memset((a), (b), sizeof(a))
#define eps 0.0000001
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e5+10;

int n, m, cnt;
int fac[maxn], num_m[maxn], num_c[maxn];
int ans[maxn], sum;

void init()
{
    n = n - 1;    //题目从a[1]~a[n], 而二项式定理中， 从a[0]~a[n], 所以要与二项式定理中的n对应。
    ms(num_m, 0);
    ms(num_c, 0);
    cnt = 0;

    int tmp = m;
    for(int i = 2; i*i<=tmp; i++)
    {
        if(tmp%i==0)
        {
            fac[++cnt] = i;
            while(tmp%i==0) tmp /= i, num_m[cnt]++;
        }
    }
    if(tmp>1) fac[++cnt] = tmp, num_m[cnt]++;
}

int test(int x)
{
    int a = n-x+1;
    int b = x;

    for(int i = 1; i<=cnt; i++)
    {
        while(a%fac[i]==0) num_c[i]++, a /= fac[i];
        while(b%fac[i]==0) num_c[i]--, b /= fac[i];
    }

    for(int i = 1; i<=cnt; i++)
        if(num_m[i]>num_c[i]) return 0;
    return 1;
}

void solve()
{
    sum = 0;
    for(int i = 1; i<=n-1; i++) //二项式的第0项和第n项都为1， 不需要考虑
        if(test(i))
            ans[++sum] = i+1;   //二项式的第i项， 对应题目中的第i+1项

    printf("%d
", sum);
    for(int i = 1; i<=sum; i++)
        printf("%s%d", i==1?"":" ", ans[i]);
    putchar('
');
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n, &m)!=EOF)
    {
        init();
        solve();
    }
}