BZOJ 2002 Bounce 弹飞绵羊 —— 分块算法

题目链接：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-2002

2002: [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊

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Description

某天，Lostmonkey发明了一种超级弹力装置，为了在他的绵羊朋友面前显摆，他邀请小绵羊一起玩个游戏。游戏一开始，Lostmonkey在地上沿着一条直线摆上n个装置，每个装置设定初始弹力系数ki，当绵羊达到第i个装置时，它会往后弹ki步，达到第i+ki个装置，若不存在第i+ki个装置，则绵羊被弹飞。绵羊想知道当它从第i个装置起步时，被弹几次后会被弹飞。为了使得游戏更有趣，Lostmonkey可以修改某个弹力装置的弹力系数，任何时候弹力系数均为正整数。

Input

第一行包含一个整数n，表示地上有n个装置，装置的编号从0到n-1,接下来一行有n个正整数，依次为那n个装置的初始弹力系数。第三行有一个正整数m，接下来m行每行至少有两个数i、j，若i=1，你要输出从j出发被弹几次后被弹飞，若i=2则还会再输入一个正整数k，表示第j个弹力装置的系数被修改成k。对于20%的数据n,m<=10000，对于100%的数据n<=200000,m<=100000

Output

对于每个i=1的情况，你都要输出一个需要的步数，占一行。

Sample Input

4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1

Sample Output

2
3

题解：

分块：将n个元素分成sqrt(n)块，每一块有sqrt(n)个元素。（可能为sqrt(n)+1块，最后一块不足sqrt(n)个元素）。

一个元素跳到下一个元素：

下一个元素超出范围，则直接标记。

下一个元素不在当前块，则把当前元素的next设为下一个元素。

下一个元素在当前块，则把当前元素的next设为下一个元素的next。

修改：只修改在当前块内的元素，时间复杂度为O（n^0.5）。

查询：跳块查询，每个分块最多只会被访问一次，时间复杂度为O（n^0.5）。

综上：分块算法的时间复杂度为O（n^1.5）。

启发：

有些操作的修改为O（1），但是查询为O（n）；或者修改为O（n），但是查询为O（1）。但是总的时间复杂度为：O（n）。

那可不可以把修改和查询的复杂度都做到相同，就可以降低总的时间复杂度？线段树（logn）、分块算法（n^0.5）就是实例。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
#define ms(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 200000+10;

//step是从当前分块跳到后面的分块所需的步数，next是从（当前分块）当前位置跳到后面分块的位置
int a[maxn], next[maxn], step[maxn];
int n, m, block;
/*
block的意思是每个分块有多少个元素（但最后一个分块可能不足block个元素），
如果sqrt(n)为整数，则总共有block个分块，编号为0~block-1，每个分块刚好有block个元素；
如果sqrt(n)为实数，则总共有block+1个分块，编号为0~block，最后一个分块只有n-block*block个元素。
*/

void update(int i)     //注意编号：0~n-1
{
    int pos = i+a[i];
    if(pos>=n)     //跳出界
        next[i] = -1, step[i] = 1;
    else if(pos>=(i/block+1)*block)    //跳到后面的分块, i/block*block是当前分块的起始位置，i/block*block+block是下一个分块的起始位置
        next[i] = pos, step[i] = 1;
    else                                //仍在当前分块
        next[i] = next[pos], step[i] = step[pos]+1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    block = (int)sqrt(n);
    for(int i = 0; i<n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = n-1; i>=0; i--)
        update(i);

    scanf("%d",&m);
    int x, y, k;
    for(int i = 0; i<m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(x==1)
        {
            int ans = 0;
            for(int j = y; j!=-1; j = next[j])    //下一次循环即跳到后面的分块（可能是后1个，也可能是后2、后3个等等）
                ans += step[j];
            printf("%d
",ans);
        }
        else
        {
            scanf("%d",&k);
            a[y] = k;
            for(int j = y; j>=(y/block)*block; j--)    //只需更新点所在的分块,y/block*block是当前分块的起始位置
                update(j);
        }
    }
}