Educational Codeforces Round 86 (Rated for Div. 2) A~D
A. Road To Zero
题意
给定两个数字 (x,y) ，你可以进行以下两个操作：
- 花费 (a) 美刀，可以选取一个数字进行加一或者减一操作
- 花费 (b) 美刀，对两个数字同时执行加一或者减一操作
询问让两个数字同时归零的最少花费。
解题
题中给出 (x,y,a,b) 四个数字全部都大于等于零，不用考虑加一操作。
假设 (x le y) ，则最少花费 (ans = min(a(x+y),bx+a(y-x))) ，下面给出简单证明。
设将 (x,y) 归零过程中，执行操作二的次数为 (p (0le ple x)) ，则总花费 (cost(p) = bp + a(x+y-2p) = (b-2a)p+a(x+y)) ，根据函数单调性可以得到下面结论。
[minCost = egin{cases} cost(0) & b-2age 0\ cost(x) & b-2a<0\end{cases} ]所以 (ans = min(cost(0),cost(x)) = min(a(x+y),bx+a(y-x))) 。
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
for t in range(int(input())):
x,y = scanf()
a,b = scanf()
if(x>y): x,y = y,x
print(min(a*(x+y),b*x+a*(y-x)))
B. Binary Period
题意
给定一个仅由 0 和 1 组成的字符串 (t) ，询问一个字符串 (s) ，要求：
- (s) 仅由 0 和 1 组成；
- (s) 的长度不超过 (t) 的二倍；
- (t) 是 (s) 的子串；
- (s) 在满足上述条件的同时，要求周期最少。
解题
首先注意题目中说的是子串，并不是连续子串。我们可以对字符串 (t) 插入至多 (|t|) 个 (0) 和 (1) 来构成 (s) ，分情况考虑：
- 当输入的 (t) 串中仅含有单一的字符，如 (111)，(000) 等。那么周期最小的 (s) 就是 (t) 本身，周期为 (1) 。
- 当 (t) 两种字符都包含的时候，可以通过交替的方式插入 (01) 字符，构成长度为 (2|t|) 的 (01) 交替的 (s) 串，周期为 (2) 。
for t in range(int(input())):
inp = input()
has0 = False; has1 = False
for c in inp:
if(c=='0'): has0 = True
if(c=='1'): has1 = True
if not(has0 and has1):
print(inp)
else:
ans = ''
for _ in inp: ans+='01'
print(ans)
C. Yet Another Counting Problem
题意
询问 (xin[l,r]) 中 (x) 满足 (x\%a\%b e x\%b\%a) 的数量。
解题
题面很简单，题目很离谱。起初以为可能是某个数学结论，经过几番举例发现是一道规律题。
设当 (a,b(ale b)) 已知的情况下，(f(p)) 为区间 ([1,p)) 内满足条件的 (x) 的数量，(ans = f(r+1)-f(l)) ，类似差分的思想。
经过几组举例发现，如果 (b\%a=0) ，则 (f(p)) 的值始终为 (0) 。
如果 (b\%a e 0) 时， ( riangle f(p) = f(p+1) - f(p) = int(p\%b\%a e p\%a\%b)) 会具有明显的周期性，其周期 (T = lcm(a,b)) ，
反推得到 (f(p)) 值，
from math import gcd
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
def f(p,a,b):
lcm = a*b//gcd(a,b)
res = (p//lcm)*(lcm-b) + max(0,p%lcm-b)
return res
for t in range(int(input())):
a,b,q = scanf()
if(a>b): a,b = b,a
for _ in range(q):
l,r = scanf()
if(b%a==0): print('0')
else: print( int(f(r+1,a,b)-f(l,a,b)) )
D. Multiple Testcases
题意
给定一个大小为 (n) 的正整数数组 (m) 和一个正整数 (k) ，保证 (m_ile k) 。将数组 (m) 分成若干个子数组，要求每个子数组中大于等于 (i) 的数字不超过 (c_i) 个，询问分成份数最少的方案。
解题
首先注意两点，题目中保证 (n≥c1≥c2≥⋯≥ck≥1) 。如果设 (lg(i)) 表示任意一个大于等于 (i) 的数字，将 (lg(x)) 分给一个子数组，那么这个数字将会同时占据 (c_1,c_2,...,c_x) 各一个份额。
我们可以先求出至少分成的份数 (ans = max(lceilfrac{count(lg(i))}{c_i} ceil),iin[1,k])，关于 (count) 的计算方式如下。
按照这个份数将数组顺序摊开分布即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fr(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define frs(i,n,flag) for(int i=0;i<n&&flag;i++)
#define frr(i,j,n) for(int i=j;i<n;i++)
#define r_frr(i,j,n) for(int i=n-1;i>=j;i--)
#define frrs(i,j,n,flag) for(int i=j;i<n&&flag;i++)
#define r_frrs(i,j,n,flag) for(int i=n-1;i>=j&&flag;i--)
#define arend(i,n) ((i!=n-1)?" ":"
")
#define memset0(dp) memset(dp,0,sizeof(dp))
#define print_arr(begin,end) for(auto it = begin;it!=end;it++) cout<<*it<<arend(it,end);
#define log_this(name,value) cout<<name<<": "<<value<<endl;
#define e4 10004
#define e5 100005
#define e6 1000006
#define e7 10000007
#define e9 1000000000
#define INF 9999999
using namespace std;
int to_int(string s) {stringstream ss;ss<<s;int a;ss>>a;return a;}
string to_str(double a) {stringstream ss;ss<<a;return ss.str();}
int m[2*e5];
int c[2*e5];
int ct[2*e5];
int main(){
cin.tie(0);
//ios::sync_with_stdio(false);
//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(0);
int n,k;
while(cin>>n>>k){
fr(i,n) cin>>m[i]; sort(m,m+n);
frr(i,1,k+1){
cin>>c[i];
ct[i] = 0;
}
int i = k;
r_frr(j,0,n){
if(i==m[j]) ct[i]++;
else{
while(i>m[j]){
i--;
ct[i] = ct[i+1];
}
ct[i]++;
}
}
int ans = 0;
frr(i,1,k+1) ans = max(1.0*ans,ceil(1.0*ct[i]/c[i]));
auto prt = new vector<int>[ans];
int p = 0;
fr(i,n){
prt[p++].push_back(m[i]);
if(p==ans) p = 0;
}
cout<<ans<<endl;
fr(i,ans){
cout<<prt[i].size()<<" ";
print_arr(prt[i].begin(),prt[i].end());
}
}
return 0;
}