Treats for the Cows 区间DP POJ 3186

题目来源：http://poj.org/problem?id=3186

（http://www.fjutacm.com/Problem.jsp?pid=1389）

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　　题目意思：
    约翰经常给产奶量高的奶牛发特殊津贴，于是很快奶牛们拥有了大笔不知该怎么花的钱．
    为此，约翰购置了N(1≤N≤2000)份美味的零食来卖给奶牛们．每天约翰售出一份零食．
    当然约翰希望这些零食全部售出后能得到最大的收益．这些零食有以下这些有趣的特性：
    零食按照1．．N编号，它们被排成一列放在一个很长的盒子里．盒子的两端都有开口，约翰每
    天可以从盒子的任一端取出最外面的一个．
    与美酒与好吃的奶酪相似，这些零食储存得越久就越好吃．当然，这样约翰就可以把它们卖出更高的价钱．
    每份零食的初始价值不一定相同．约翰进货时，第i份零食的初始价值为Vi(1≤Vi≤1000)．
    第i份零食如果在被买进后的第a天出售，则它的售价是vi×a．
    Vi的是从盒子顶端往下的第i份零食的初始价值．约翰告诉了你所有零食的初始价值，
    并希望你能帮他计算一下，在这些零食全被卖出后，他最多能得到多少钱．
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思路：这是一题区间动态规划，但是又不是那么复杂的区间动态规划；
　　　这题要先找对状态，不然很难进行下去，也许别的小伙伴有别的状态，但是我找的状态是dp[i][j]表示i~j范围内取出倒数j-i+1个物品的最大值，比如dp[i][i]就是第取出倒数第一个为a[i]可以获得的值，dp[i-1][i]同理，表示倒数第一、二个为a[i-1],a[i]的最大值。
　　　然后找对状态了要找转移方程：对于这题先要搞清楚我们是逆推，从区间小推向区间大，也就是用小的求大的，所以dp[i][j]是由比他小的部分加上一些东西组成的，此时我们可以发现，dp[i][j]这个区间我们只有两种取法（题目给的是一个双端队列一样的东西），也就是我们只能取a[j]或者a[i]这两个数，而且这两个数一定是在倒数j-i次取的，因为之前只有j-i- 1(可能是a[i]或a[j]) 个数，而且都是倒数着的，这样我们就可以发现，dp[i][j]=Max(dp[i+1][j]+a[i]*(n-(j-i)), dp[i][j-1]+a[j]*(n-(j-i)));看下面这个图你就能理解他是怎么步步紧逼的合并状态的:

斜着的颜色分层的部分就表示i、j距离不同时由某些状态过来的最大值，余下的看看代码吧！

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=2020;
int dp[N][N], a[N];
int Max(int a, int b){ return a>b?a:b; }
int main( ){
    int n;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(register int i=1; i<=n; ++i)
            scanf("%d", a+i), dp[i][i]=a[i]*n;///设置为当第i个数为最后一个被取的数的情况；
        for(register int l=1; l<=n; ++l){///先跑i、j距离为1的区间，然后顺延下去才可以保证不会出错
            for(register int i=1; i+l<=n; ++i){
                int j=i+l;
                dp[i][j]=Max(dp[i+1][j]+a[i]*(n-l), dp[i][j-1]+a[j]*(n-l));
            }
        }
        printf("%d
", dp[1][n]);
    }
}