• Luogu 1445 樱花


    BZOJ 2721

    唔,太菜了弄不来。

    先通分:得到  $frac{x + y}{xy} = frac{1}{n!}$

    两边乘一下   $(x + y)n! - xy = 0$

    两边加上$(n!)^2$,然后因式分解:  $(x - (n!))(y - (n!)) = (n!)^2$。

    本题中要求$x,y$是正整数,如果我们求出了$x - n!$和$y - n!$是正整数,那么$x$和$y$也会是正整数,然后这两个式子只要确定了一个就可以求出另外一个,所以本题的答案就是$(n!)^2$的因数个数,把$n!$先分解质因数然后所有质因数数量乘以$2$$ + 1$乘起来就好了。

    暴力分解质因数是$n sqrt{n}$的,不能承受,我们在线性筛的时候可以直接筛出到所有数的最小质因子,然后直接除掉即可。

    时间似乎是每一个数的质因数个数$???$。

    Code:

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    const int N = 1e6 + 5;
    const ll P = 1e9 + 7;
    
    int n, pCnt = 0, pri[N], lp[N];
    ll cnt[N];
    bool np[N];
    
    inline void sieve() {
        lp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            if(!np[i]) pri[++pCnt] = i, lp[i] = i;
            for(int j = 1; j <= pCnt && i * pri[j] <= n; j++) {
                np[i * pri[j]] = 1;
                if(i % pri[j] == 0) {
                    lp[i * pri[j]] = pri[j];
                    break;
                }
                lp[i * pri[j]] = pri[j];
            }
        }
    
    /*    for(int i = 1; i <= n; i++)
            printf("%d ", lp[i]);
        printf("
    ");    */
    }
    
    int main() {
        scanf("%d", &n);
        sieve();
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int tmp = i;
            for(; tmp != 1; tmp /= lp[tmp]) ++cnt[lp[tmp]];
        }
    
        for(int i = 1; i <= pCnt; i++) cnt[pri[i]] *= 2;
    
        ll ans = 1LL;
        for(int i = 1; i <= n; i++) ans = ans * (1LL + cnt[i]) % P;
    
        printf("%lld
    ", ans);
        return 0;
    }
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