[BZOJ1013] [JSOI2008] 球形空间产生器sphere (高斯消元)

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B
的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + 
… + (an-bn)^2 ) 

Source

Solution

　　设圆心为$(x[1], x[2], x[3], ......, x[n])$，第$i$个点为$(a[i][1], a[i][2], a[i][3], ......, a[i][n])$

　　我们可以列出$n$个方程，第$i$个方程形式是这样的：

　　$sum_{j=1}^{n}(a[i][j]-x[j])^{2}=sum_{j=1}^{n}(a[i+1][j]-x[j])^{2}$

　　化简，得：

　　$sum_{j=1}^{n}2(a[i][j]-a[i+1][j])x[j]=sum_{j=1}^{n}(a[i][j]^{2}-a[i+1][j]^{2})$

　　$n$个方程都是一次方程，所以高斯消元即可

　　代码里的模版是自己YY的，并不知道对不对

　　貌似有人知道了我BZOJ第一页的做题顺序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-9;
double a[15][15], f[15][15], ans[15];
 
void gauss(int n)
{
    double t;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
        {
            if(fabs(f[i][i]) > eps) break;
            if(fabs(f[j][i]) < eps) continue;
            for(int k = 1; k <= n; ++k)
                swap(f[i][k], f[j][k]);
        }
        for(int j = n + 1; j >= i; --j)
            f[i][j] /= f[i][i];
        for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
        {
            t = f[j][i] / f[i][i];
            for(int k = i; k <= n + 1; ++k)
                f[j][k] -= t * f[i][k];
        }
    }
    for(int i = n; i; --i)
    {
        for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
        {
            f[i][n + 1] -= ans[j] * f[i][j];
            f[i][j] = 0;
        }
        ans[i] = f[i][n + 1] / f[i][i];
    }
}
 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n + 1; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            cin >> a[i][j];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            f[i][j] = 2 * (a[i][j] - a[i + 1][j]);
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            f[i][n + 1] += pow(a[i][j], 2) - pow(a[i + 1][j], 2);
    }
    gauss(n);
    cout << fixed << setprecision(3) << ans[1];
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        cout << ' ' << ans[i];
    cout << endl;
    return 0;
}