关于欧几里得算法的认识

一、欧几里得算法（辗转相除法）

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

int gcd(int x,int y){
    return !y?x:gcd(y,x%y);
}

二、扩展欧几里得算法：

用于求关于ax+by=gcd（a，b）的一组解，在一些神奇的方面有应用。

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

 理解：

　　ax+by=c要满足c%gcd(a,b)==0

　　原方程ax+by=gcd(a,b)可以化为：(a%b)x+b(a/b*x+y)=gcd(a,b);

　　即把a%b看为新的a，a/b*x+y看做新的y，递归求解。

　　这样a就变成了a%b，b不变，就像辗转相除法一样。

　　当然，边界就是b为0，那么这时，x=1，y=0。

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1,y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ;
}