[最小割][Kruskal] Luogu P5039 最小生成树

题目描述

Secsa最近对最小生成树问题特别感兴趣。他已经知道如果要去求出一个 nn 个点、 mm 条边的无向图的最小生成树有一个Krustal算法和另一个Prim的算法。另外，他还知道，某一个图可能有多种不同的最小生成树。例如，下面图3中所示的都是图2中的无向图的最小生成树：

当然啦，这些都不是今天需要你解决的问题。Secsa想知道对于某一条无向图中的边AB，至少需要多少代价可以保证AB边在这个无向图的最小生成树中。为了使得AB边一定在最小生成树中，你可以对这个无向图进行操作，一次单独的操作是指：先选择一条图中的边 P1P2，再把图中除了这条边以外的边，每一条的权值都减少 11 。如图4所示就是一次这样的操作：

题解

• 我们可以发现让其余所有边都减1和让自己加1没什么区别

• 考虑kruskal的过程，首先边权大于这条边的是不用考虑的

• 考虑把那些边权比这条边小的调节到比这条边大，这样就相当于在生成树上去掉了这条边

• 至于调大到多少自然是使得边权恰好大1
  

• 让这条边必然存在就一定得让这条边链接的两个点不连通，于是我们把在生成树上去掉这条边看成割断这条边，于是这就是一个最小割

代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
queue<int> Q;
struct edge{int to,from,w;}e[N*4];
struct node{int u,v,w,o;}E[N];
int n,m,S,T,k,t,cnt=1,ans,head[N],d[N],cur[N];
int cmp(node a,node b) { return a.w==b.w?a.o<b.o:a.w<b.w; }
void insert(int x,int y,int w) 
{
    e[++cnt].to=y,e[cnt].from=head[x],head[x]=cnt,e[cnt].w=w;
    e[++cnt].to=x,e[cnt].from=head[y],head[y]=cnt,e[cnt].w=0;
}
int bfs() 
{
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=0,cur[i]=head[i];
    Q.push(S),d[S]=1;
    while (!Q.empty()) 
    {
        int u=Q.front(); Q.pop();
        for (int i=head[u];i;i=e[i].from) if (!d[e[i].to]&&e[i].w) d[e[i].to]=d[u]+1,Q.push(e[i].to);
    }
    return d[T];
}
int dfs(int x,int now) 
{
    if (x==T||!now) return now;
    int flow=0,ff;
    for (int& i=cur[x];i;i=e[i].from)
        if (d[e[i].to]==d[x]+1) 
        {
            ff=dfs(e[i].to,min(now,e[i].w));
            if (ff<=0) continue;
            now-=ff,flow+=ff,e[i].w-=ff,e[i^1].w+=ff;
            if (!now) break;
        }
    return flow;
}
int main() 
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
    E[k].o=1,S=E[k].u,T=E[k].v,t=E[k].w,sort(E+1,E+m+1,cmp);
    for (int i=1;i<=m;i++) { if (E[i].o) break; insert(E[i].u,E[i].v,t-E[i].w+1),insert(E[i].v,E[i].u,t-E[i].w+1); }
    while (bfs()) ans+=dfs(S,999999999); printf("%d",ans);
}