[数学][快速幂] Jzoj P4248 n染色

Description

WYF画了一个极为不规则的n边形，画面太美简直不看，没有任意两条边长度是相等的。因为形状太难看了，做他同桌的CWQ看不下去了，趁着WYF上厕所的时间准备用他书包里的m种颜色的彩笔给n边形的边上色。但由于WYF画的实在太大，CWQ不知如何下手，他想知道他有多少种染色方法，能够使得每两条相邻 边不同色。你只需输出答案模10^9+7的结果。

 

Input

一行，仅包含两个正整数n和m。

Output

一个正整数，表示答案模10^9+7的结果

 

Sample Input

3 3

Sample Output

6

 

Data Constraint

对于50%的数据，3≤n≤100000，3≤m≤10；
对于100%的数据，3≤n≤10^18，3≤m≤50。

题解

• 假设我们有n个点，方案数为A[n]
• 现在考虑加入第n个点，加入点后左右不同颜色，插入之前的方案数为A[n-1]，该点的颜色有m-2中选取的方案
• 若加入点后左右同色，则删掉一个点后就符合条件了，方案数就为A[n-2]，该点的颜色就有m-1种选取的方案
• 递推公式就是为A[n]=A[n-1]*(m-2)+A[n-2]*(m-1)，通项公式为A[n]=(m-1)^n+(m-1)*(-1)^n
• 递推公式要矩阵乘法加速，通项公式直接快速幂就好了

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
ll n,m,r;
ll ksm(ll a,ll b) { for (r=1;b;b>>=1,a=a*a%mo) if (b&1) r=r*a%mo; return r; }
int main()
{
    freopen("color.in","r",stdin),freopen("color.out","w",stdout),scanf("%lld%lld",&n,&m);
    printf("%lld
",(ksm(m-1,n)+(m-1)*ksm(-1,n))%mo);
    return 0;
}