自然数到底可以表示到多大?

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　　作者：窗户

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　　从很小我们 就知道，自然数有无限多个。

　　小朋友都对巨大的数有一种天然的憧憬，以至于很多人都会想过这么一个问题，我们可以表示出多大的数？

　　小的时候，我就幻想着，我拿着一支笔，然后不断的写9，然后所写的这个数就可以非常非常大了。长大一点才知道，这个根本不算什么，随便一个乘方就把它秒杀了。

　　以下我们来看看 递归 的神奇。

　　

　　Ackermann函数

　　我想几乎每个正统学习计算机的同学都见过Ackermann函数，

　　Ackermann函数带两个参数，两个参数都是非负整数。

　　其定义如下：

　　对于Ackermann(m,n)，

　　(1) 如果m=0，则函数值为n+1

　　(2) 如果m>0且n=0,则函数值同Ackermann(m-1,1)

　　(3) 如果函数m>0且n>0，则函数值同Ackermann(m-1, Ackermann(m, n-1))

　　这个函数很恐怖，Ackermann(4,0)=13，Ackermann(4,1)=65533, Ackermann(4,2)有 19729 位，Ackermann(4,3)天知道……

　　

　　

　　运算符号的演化

　　我们最先学会的运算符号是加法，很快我就学会了相同的数连加。

　　8个2相加，写起来如下

　　2+2+2+2+2+2+2+2

　　

　　显然，连加的写法过于累赘，于是我们又学习了乘法，上述的式子可以写成

　　2×8

　　于是顿时简洁了很多。

　　注：根据不同理解，也有表示为8×2

　　自然而然，我们想到了连乘，它可以表达挺大的数了。

　　8个2相乘，写起来如下

　　2×2×2×2×2×2×2×2

　　于是有了乘方来简化，上述表示为2⁸

　　

　　有了乘方，终于有了第一个大杀器。我们可以连着写乘方，以乘方的结果作为后面乘方的指数，如同连加、连乘那样，比如

　　

　　它运算的结合是从上往下结合，这个数是很夸张的大，这个宇宙不够存储它的十进制下每一位。

　　

　　高德纳箭头

　　提起高德纳Knuth，应该计算机界的人都知道吧，我也不用多介绍了。

　　他以连加、连乘、连乘方为思路基础，提出了高德纳箭头这样的运算符。

　　

　　a↑b = a^b

　　a↑↑b = a↑a...↑a 　　(一共有b个a)

　　a↑↑↑b = a↑↑a...↑↑a　　(一共有b个a)

 　　...

　　a ↑ⁿ b = a ↑^n-1 a ... ↑^n-1 a　　(一共b个a)

　　↑ⁿ 我这里表示为n个箭头。

　　高德纳箭头是从右向左结合，比如3↑3↑3就是3↑(3↑3)

　　之前提到的

　　

　　用高德纳箭头表示应该是2↑↑6

　　这个数箭头只有2个，前后数字都很小，但是已经非常可怕的大了。

　　

　　葛立恒数

　　

　　这是曾经出现在数学证明中最大的自然数，不过后面被另外一个数学证明中的TREE(3)刷新纪录。这两个数都与图的染色有关，此处不深入。

　　

　　葛立恒数是如下表示的：

　　g(0) = 4

　　g(1) =  3 ↑^g(0) 3

　　g(2) =  3 ↑^g(1) 3

　　...

　　g(64) = 3 ↑^g(63) 3

　　g(64)就是葛立恒数，这个数是夸张的大，别说数本身，就连它的箭头的个数g(63)，人们也无法理解它的大小。

　　其实就连g(1)，人们已经无法理解其大小，甚至理解不了g(1)的大小的大小的大小的......大小。

　　

　　Scheme来表示高德纳箭头

　　因为高德纳箭头的高阶箭头有个很简单的往低阶箭头上展开的关系，所以用Scheme很容易表示，毕竟Lisp是很容易表示递归的。

　　

(define (knuth n m cnt_arrow)
 (define (knuth-list lst cnt_arrow)
  (cond
   ((null? (cdr lst)) (car lst))
   ((= 1 cnt_arrow) (knuth-list (cons (expt (cadr lst) (car lst)) (cddr lst)) 1))
   (else (knuth-list (cons (knuth-list (make-list (car lst) (cadr lst)) (- cnt_arrow 1)) (cddr lst)) cnt_arrow))
  )
 )
 (knuth-list (list m n) cnt_arrow)
)

　　当然，上面只是表示出了其递归关系，在现有宇宙下计算不出来^_^比如之前那6个2我们肯定就算不出来，但是5个2也就是2↑↑5我们还是有希望的。

　　(knuth 2 5 2)计算结果就不贴了，是一个 19729 位的数，其实等于Ackermann(4,3)+3。

　　而之前葛立恒数虽然根本算不出来，但用Scheme表示还是很容易的。

　　

(define Graham-Number
 (define (g n)
  (if (zero? n) 4
   (knuth 3 3 (g (- n 1)))
  )
 )
 (g 64)
)

　　康威链式箭头

　　

　　Conway，著名的生命游戏的提出者，英国数学家。

　　他发明的康威链式箭头是个比高德纳箭头还恐怖的东西。

　　所谓链式箭头，是一串用箭头串在一起的正整数，比如

　　3->5

　　2->3->2

　　3->4->5->6

　　当然，只有一个数也算，那么值就是数本身。链长至少为1。

　　另外，康威链式箭头和高德纳箭头不一样，高德纳箭头是运算符，康威链式箭头只是用来连接一个序列。

　　康威链式箭头怎么计算呢？

　　它一共有5条规则，

　　(1) 如果链里面只有一个数a，那么值就是a本身

　　(2) 如果链里面有两个数，a->b，那么值为a^b

　　(3) 如果链长超过2，链形如X->a->1，其中X是一条链，那么原链就等于X->a，也就是链长减1

　　(4) 如果链长超过2，链形如X->1->(a+1)，其中X是一条链，a是正整数（也就是最后一个数大于1，其实等于1也满足，只是同时满足两条规则），原链值同链X

　　(5) 如果链长超过2，链形如X->(a+1)->(b+1)，其中X是一条链，a、b是正整数（也就是链尾的两个数都大于1），原链值同X->(X->a->(b+1))->a

　　以上5条规则构造出了比高德纳箭头更疯狂的东西。

　　疯狂在哪里呢？之前的葛立恒数g(64)已经很大了，可是以下不等式成立

　　3->3->64->2 < g(64) < 3->3->65->2

　　3->3->65->2 < 3->3->3->3

　　简单的4个3，秒天秒地

　　以上递归很明显，很工整，用Scheme一样表示，链式箭头的序列就用Scheme里的list直接就可以表示了：

　　

(define (conway lst)
 (define (conway_rev lst)
  (cond
   ((null? (cdr lst)) (car lst)) ;规则1
   ((null? (cddr lst)) (expt (cadr lst) (car lst))) ;规则2
   ((= 1 (car lst)) (conway_rev (cdr lst))) ；规则3
   ((= 1 (cadr lst)) (conway_rev (cddr lst))) ;规则4
   (else (conway_rev (cons (- (car lst) 1) (cons (conway_rev (cons (car lst) (cons (- (cadr lst) 1) (cddr lst)))) (cddr lst))))) ;规则5
  )
 )
 (conway_rev (reverse lst))
)

　　于是，刚才秒天秒地的3->3->3->3就是(conway '(3 3 3 3))