版权申明：本文为博主窗户(Colin Cai)原创，欢迎转帖。如要转贴，必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/9123363.html 作者：窗户 QQ：6679072 E-mail：6679072@qq.com
教一个基本没编过什么程序的朋友scheme，为什么教scheme呢？因为他想学，因为一直听我鼓吹，而他觉得他自己多少有C语言一点基础，而又因为我觉得函数式才像数学，而过程式是偏向物理现实的，感觉不够抽象。当然，对于一个成年人来说，有着太多的生活、学习、工作经验，这些很多因为是物理现实，很有过程式的意思，对于理解递归这种数学抽象总觉得是不容易的。我告诉他，这个和你曾经读书时学的C语言有天壤之别。但无论如何，我决定试一试。
理解了前缀表达，理解了基本的递归，想想还是从这里开始吧。
我给出了三个函数：eq0，用来判断是否为0；inc，用来得到一个自然数的后继数；dec，用来得到一个自然数是哪个自然数的后继（有个特例，0不是任何数的后继，这里返回0）。然后让他借助scheme的递归，其余的只利用这三个函数来构造加减乘除乃至余数、乘方、对数。
;使用这三个函数实现自然数内的加减乘除乘方对数(《递归论》里的运算,除法和对数都是向下取整，减法被减数小于减数得到0) (define (eq0 x) (= x 0)) (define (inc x) (+ x 1)) (define (dec x) (if (= x 0) 0 (- x 1)))
递归论里都是自然数内部的函数，当然递归论其实本质上不过是用自然数（一个特殊的可列集）内的递归来模拟所有的运算，因为本质上我们一个确定的计算都是针对可列集。自然数里的计算搞定了，所有可计算问题都可以等价的转为自然数内的计算。
当然，上升到递归论层次，有些东西还是难懂的，比如一般递归算子和原始递归算子的理解。不过，如果只是学习函数式编程，而不是为了学习数学，一些东西可以庸俗化一点。
很显然，这个问题是难到他了，半天连加法似乎没有出来。于是我决定启发一下他。我们可以这样去考虑递归：
我们知道任何一个数加0都等于自身，那么假设计算4+3，可以这样考虑递归的过程，
4+3=5+2=6+1=7+0=7
也就是x+y往(x+1)+(y-1)的方向去递归，直到第二个数字递归到0为止。
很快这位仁兄写出了以下代码
(define (add x y)
(if (eq0 y) x
(add (inc x) (dec y))
)
)
再接再厉，减法也是前后两个数逐渐dec，直到两个有一个变为0，嗯，也很快搞定(因为是自然数内的，这里的减法小的数减大的数结果为0，递归论里定义的减法就是这样)
(define (sub x y)
(if (eq0 x) 0
(if (eq0 y) x
(sub (dec x) (dec y))
)
)
)
我然后说，这里其实可以缩减一下(0 dec还是0)
(define (sub x y)
(if (eq0 y) x
(sub (dec x) (dec y))
)
)
做乘法的时候，遇到了困难，于是我就提醒了一下，其实x*y，y=0的时候为0，y不为0的时候,x*y=x*(y-1)+x，所以可以这样写
(define (mul x y) (if (eq0 y) 0 (add x (mul x (dec y))) ) )
他不可理解了，说add不是刚才定义过的吗，为什么现在就可以用了？我顿时明白了他之所以为难的原因，于是解释说，当然可以用，我们数学里面不是为了证明一个定理，很多时候先去证明一个引理嘛。他顿时理解了。
然后我接着说，如果不直接用也是可以的，只是复杂一些。我用3*3来解释这个问题，我需要记录过程状态：
3 3 0 0
3 2 3 0
3 2 2 1
3 2 1 2
3 2 0 3
3 1 3 3
3 1 2 4
3 1 1 5
3 1 0 6
3 0 3 6
3 0 2 7
3 0 1 8
3 0 1 9
左边第一个是被乘数，第二个是乘数，第四个是累计的结果。
计算过程规则如下：
(1)最开始的时候，第三个数和第四个数都为0。
(2)当第三个数为0的时候，第三个数减1，第四个数加1。
(3)当第三个数为0的时候，如果乘数不为0，就借一个被乘数过来，然后乘数减1；如果乘数为0，那么第四个累计的结果就是乘积。
作为函数式编程使用附加的值只能再加参数，于是有了这样的计算方法：
(define (_mul x y x2 r) (if (eq0 x2) (if (eq0 y) r (_mul x (dec y) x r) ) (_mul x y (dec x2) (inc r)) ) ) (define (mul x y) (_mul x y 0 0) )
他很惊讶于原来还可以这么干，不过很快理解了我的做法，然后我又告诉他，因为这个_mul是为了解决mul临时定义出来的函数，如同证明中的引理，可以写到mul的定义里面，写成
(define (mul x y) (define (_mul x y x2 r) (if (eq0 x2) (if (eq0 y) r (_mul x (dec y) x r) ) (_mul x y (dec x2) (inc r)) ) ) (_mul x y 0 0) )
接着，很快，他很快完成了乘方，
(define (pow x y) (if (eq0 y) 1 (mul x (pow x (dec y))) ) )
嗯，还算可以，至少会举一反三，只是0的任意次幂为0，但0的0次幂嘛。。。算了，索性x不能等于0，算解决了。
除法（自然数内的除法这里只考虑整数部分）也很快做完，
(define (div x y) (if (> y x) 0 (inc (div (sub x y) y)) ) )
我“嗯？”了一下，然后说我这里只定义了一个谓词eq0，并没有定义>
然后我提醒他需要定义>，他搞不定了。
于是还是得我来写，
(define (> x y) (if (eq0 x) #f (if (eq0 y) #t (> (dec x) (dec y)) ) ) )
其实，也可以用之前的减法定义>
(define (> x y) (if (eq0 (- x y)) #f #t))
接着，他完成了余数和对数
(define (rem x y) (if (> y x) x (rem (sub x y) y) ) ) ;这里的对数，是实数下对数的整数部分 (define (log x y) (if (> y x) 0 (inc (log (div x y) y)) ) )
然而对数的实现稍有问题（当然，不考虑x,y为0，y为1的情况），也不符合这个函数我想让他写成的样子，不过我不得不说他写对了，与其说是写对了，倒不如说是蒙对了，因为这个的写法是需要一个数学证明的（不要忘了，div返回的只是整数）。
证明在这里我就不赘述了，我希望他完成的大致应该如下：
(define (log x y) (define (_log x y y^r r) (if (> y^r x) (dec r) (_log x y (mul y^r y) (inc r)) ) ) (_log x y 1 0) )
不过整体来说，我还算满意，毕竟只学了一点点时间，能在指导下搞定这么些，已经挺不错。