泛函分析重点定理
$hahn-banach$泛函延拓定理：
设$X$是实线性空间，$p(x)$是$X$上次线性泛函，若$f$是$X$的子空间$Z$上的实线性泛函，且被$p(x)$控制，即满足$f(x)le p(x),xin Z$，则存在$X$上的实线性泛函$overline{f}$，使得当$xin z$时，有$overline{f}(x)=f(x)$，并且在整个空间$X$上仍被$p(x)$控制，$overline{f}(x)le p(x),xin X$
一致有界性定理（共鸣定理）：
设$X$为巴拿赫空间，$Y$是赋范空间，$eta (X o Y)$表示$X$到$Y$中的有界线性算子全体，
${{T}_{n}}in eta (X o Y),n=1,2,cdots $，若对每个$xin X$，${left| {{T}_{n}}x ight|}$有界，即$left| {{T}_{n}}x ight|le {{C}_{x}},n=1,2,cdots $，这里${{C}_{x}}$是一与$x$有关的实数，那么，${{{T}_{n}}}$一致有界，即存在与$x$无关的实数$C$，使得对一切正整数$n$，有$left| {{T}_{n}} ight|le C$
开映照定理：
设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，若$A:X o Y$是一个满射的连续线性算子，那么$A$就是一个开映射。（或者$Ain L(x,y)$是一个满射）
压缩映射原理
设$X$是完备度量空间，$T$是$X$上的压缩映射，那么$T$有且只有一个不动点（就是说，方程
$Tx=x$，有且只有一个解）
极小化向量定理：
设$X$是内积空间，$M$是$X$中非空凸集，并且按$X$中由内积导出的距离完备，那么对每个
$xin X$，存在唯一的$yin M$，使得$left| x-y ight|=d(x,M)$
里斯定理：
设$X$是希尔伯特空间，$f$是$X$上连续线性泛函，那么存在唯一的$zin X$，使得对每个$xin X$，有$f(x)=<x,z>$并且$left| f ight|=left| z ight|$
里斯表示定理：
$C[a,b]$上每一个连续线性泛函$F$都可以表示成为$F(f)=int_{a}^{b}{f(t)dg(t),fin [a,b]}$
其中$g(t)$是$[a,b]$上有界变差函数，并且$left| F ight|=underset{a}{overset{b}{mathop{V}}}\,(g)$
贝尔刚定理：
若$X$是非空的完备度量空间，则$X$是第二纲集
逆算子定理：
设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，如果$T$是从$X$到$Y$的一对一有界线性算子，那$T$的逆算子${{T}^{-1}}$也是有界线性算子
闭图像定理：
设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，$T$是$D(T)subset X$到$Y$中闭线性算子，如果$D(T)$是闭的，则$T$是有界算子