Quick pow is very important and basics.
法一(递归法):
先举个栗子:
求2 ^10?
我们将它分为下面五步:
- 2^10 = 2^5 * 2^5
- 2^5 = 2 * 2^4
- 2^4 = 2^2 * 2^2
- 2^2 = 2^1 * 2^1
- 2^1 = 2 * 2^0
总的来说就是:
1)当b是奇数时,那么有 a^b = a * a^*(b-1)
2)当b是偶数时,那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)
于是,我们可以写出如下快速幂递归代码:
typedef long long ll; ll quickPow(ll a, ll b, ll m) { if(b == 0) return 1; else if(b&1) return a*quickPow(a,b-1,m)%m; else { ll num = quickPow(a,b/2,m)%m; //优化 return num*num%m;// or直接写成:return binaryPow(a,b/2,m)%m*binaryPow(a,b/2,m)%m%m } }
法二:(迭代法)
对于 a ^ b来说,若果把 b 写成2 进制,那么b 就可以写成若干二次幂之和,如13 的二进制 1101,于是3 号位 、2号位、0号位就都是1,那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 8 + 4 + 1。所以a ^13 = a^8 * a^4 * a^1。
通过同样的推导,我们可以把任意的a^b 表示成 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^(2^i)就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路:令i 从0到k枚举b的二进制的每一位,如果为1 那就累计a^(2^i)。
注意 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1前一项总是等于后一项的平方。具体步骤。
(1)初始令ans = 1,用来存放累积的结果。
(2)判断b的二进制末尾是否为1,(及判断 b&1 是否为 1),也可以理解为判断b 是否为奇数。如果是的话,令ans乘上a的值。
(3)令a平方,并使b右移一位,(也可以理解为,b/2)
(4)只要b 大于0,就返回(2)。
typedef long long ll ll binaryPow(ll a, ll b, ll m){ ll ans = 1; while(b > 0)
{ if(b & 1)
{ ans = ans * a % m;
} a = a * a % m; b >> = 1; } return ans; }