• 快速幂(Quick pow)


    Quick pow is very important and basics.

    法一(递归法):

    先举个栗子:

    求2 ^10?

    我们将它分为下面五步:

    1. 2^10 = 2^5 * 2^5
    2. 2^5 = 2 * 2^4
    3. 2^4 = 2^2 * 2^2
    4. 2^2 = 2^1 * 2^1
    5. 2^1 = 2 * 2^0

    总的来说就是:

    1)当b是奇数时,那么有 a^b = a * a^*(b-1)

    2)当b是偶数时,那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

    于是,我们可以写出如下快速幂递归代码:

    typedef long long ll;
    ll quickPow(ll a, ll b, ll m)
    {
        if(b == 0) return 1;
        else if(b&1) return a*quickPow(a,b-1,m)%m;
        else
        {
            ll num = quickPow(a,b/2,m)%m; //优化 
            return num*num%m;// or直接写成:return binaryPow(a,b/2,m)%m*binaryPow(a,b/2,m)%m%m
        }    
    }

    法二:(迭代法)

    对于 a ^ b来说,若果把 b 写成2 进制,那么b 就可以写成若干二次幂之和,如13 的二进制 1101,于是3 号位 、2号位、0号位就都是1,那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 8 + 4 + 1。所以a ^13 = a^8 * a^4 * a^1。

    通过同样的推导,我们可以把任意的a^b 表示成 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^(2^i)就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路:令i 从0到k枚举b的二进制的每一位,如果为1 那就累计a^(2^i)。

    注意 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1前一项总是等于后一项的平方。具体步骤。

    (1)初始令ans = 1,用来存放累积的结果。

    (2)判断b的二进制末尾是否为1,(及判断 b&1 是否为 1),也可以理解为判断b 是否为奇数。如果是的话,令ans乘上a的值。

    (3)令a平方,并使b右移一位,(也可以理解为,b/2)

    (4)只要b 大于0,就返回(2)。

    typedef long long ll
    ll binaryPow(ll a, ll b, ll m){
        ll ans = 1;
        while(b > 0)
       {
    if(b & 1)
         { ans
    = ans * a % m;
         } a
    = a * a % m; b >> = 1; } return ans; }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Cnxz/p/12349493.html
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