平衡二叉树AVL的一些基本概念（读书整理）

二叉树

左子树都小于根节点，右子树都大于根节点。可以动态维护这棵树（因为是树结构，可以有限步完成插入），所以是动态查找算法。时间复杂度为O(logn)在46.5%的情况下，需要把二叉树平衡化成“平衡二叉树”。

平衡二叉树

平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:

  （1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;

  （2）左右子树仍然为平衡二叉树.

 平衡因子

平衡因子bf=左子树深度－右子树深度,每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。增加一个元素后，平衡二叉树有可能变成不平衡了，所以需要旋转平衡调整。如图所示为平衡树和非平衡树示意图：

 

平衡二叉树算法思想

若 向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

 （1）LL型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。

 

（2）RR型平衡旋转法

由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。

 

（3）LR型平衡旋转法

由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。

 

      如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。

（4）RL型平衡旋转法  

由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。

 如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。

如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。

插入和删除

插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后，在删除掉结点后，再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：
1、while (current != NULL)修改current的平衡因子。

（1）插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

（2）删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

（3）current指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data。

2、判断是否需要平衡化

if (current->bf == -2)     L_Balance(c_root);

else if (current->bf == 2)  R_Balance(c_root);

3、是否要继续向上修改父节点的平衡因子

（1）插入节点时if (!current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。

（2）删除节点时if (current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和删除前的高度相同

4、当前节点移动到父节点，转1。

p = &(current->data); current = current->parent;

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