二分图

二分图匹配

目录

• 二分图的概念
• 二分图判断
• 最大匹配与增广路的概念
• 匈牙利算法

二分图的概念

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。（源自百度-二分图）

如上图就是一个标准的二分图。

二分图判断

染色。首先将任意的一个顶点染成红色，再把这个点相邻的顶点染成蓝色，如果按照这种染色方式可以将所有的顶点全部着色，并且相邻的顶点的颜色不同，那么该图就是一个二分图。

Code：

#define MAXV 1000

vector<int> G[MAXV];  //图 
int V;                       //顶点数 
int color[MAXV];  //顶点的颜色 （1 or -1） 

//顶点v，颜色c 
bool dfs(int v,int c){
    color[v] = c;
    //把当前顶点相邻的顶点扫一遍 
    for(int i = 0;i < G[v].size(); i++){
        //如果相邻顶点已经被染成同色了,说明不是二分图 
        if(color[G[v][i]] == c) return false;
        //如果相邻顶点没有被染色,染成-c,看相邻顶点是否满足要求 
        if(color[G[v][i]] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;
    }
    //如果都没问题，说明当前顶点能访问到的顶点可以形成二分图 
    return true;
}

void solve(){
    //可能是不连通图，所以每个顶点都要dfs一次 
    for(int i = 0;i < V; i++){
        if(color[i] == 0){
            //第一个点颜色为 1 
            if(!dfs(i,1)){
                cout << "No" << endl;
                return;
            }
        }
    }
}

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最大匹配与增广路的概念

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。(源自百度-二分图匹配)

最大匹配即是选择其中边数最大的子集的图。

完全匹配，也叫做完备匹配，即某个匹配中，每个顶点都和某条边相关联。

好的，现在介绍完一个基本概念，我们就要着手解决如何求解最大匹配的问题了。

若要找出二分图中的最大匹配，最朴素的方法就是找出所有的匹配并一一比较，但这种方法的时间复杂度是边数的指数级的，不能满足数据范围较大的问题。因此，我们需要找出一个更优的方法求解。

在寻找这更优的方法前，我们需要先了解增广路的概念：增广路，也称增广轨或交错轨。若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径(举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行)。（源自百度-增广路）

由增广路的定义我们可以推出下述三个结论：

1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2. 经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’，边数为M的边数+1。

3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

   

   如图为一个二分图增广路集合。

匈牙利算法

匈牙利算法就是用增广路求最大匹配问题(由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)

算法的主要步骤为：

1. 将M设置为空；
2. 找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M；
3. 重复2操作直到找不出增广路径为止；

给出一个大佬对匈牙利的算法的简单解释：传送门

Luogu P3386二分图匹配模板题

Code：

// 用邻接表建图 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define sizee 1000500
#define sizen 1050
#include<iostream>
using namespace std;
int m,n,e;
int u[sizee],v[sizee],next[sizee],first[sizen],matched[sizen];
bool vis[sizen];
int tot = -1;
void add(int uu,int vv){
	next[++tot] = first[uu];
	first[uu] = tot;
	u[tot] = uu;
	v[tot] = vv;
	return;
}

bool find(int i){// 采用dfs的方式， 不断地选择、调整 
	for(int j=first[i];j!=-1;j=next[j]){
		if(vis[v[j]])continue;
		vis[v[j]] = 1;
		// matched[v[j]]指的是当前找到的编号为v[j]的b集合内的点已经匹配了的a集合内的点 
		if(matched[v[j]] == 0 || find(matched[v[j]])){
			matched[v[j]] = i;
			return true;
		}	
	}
	return false;
}

int Hungary(){
	memset(matched,0,sizeof(matched));
	int cnt = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){//从每个a集合的点开始，因为可能有不连通的同集合的点 
		memset(vis,0,sizeof(vis));//vis指当前这此操作改动过匹配方案的b集合的点 
		if(find(i))cnt++;
	}
	return cnt;
}

int main(){
	memset(first,-1,sizeof(first));
	int uu,vv;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
	for(int i=1;i<=e;i++){
		scanf("%d%d",&uu,&vv);
		if(vv > m || uu > n)continue;
		add(uu,vv);
	}
	
	printf("%d",Hungary());
	
	return 0;
}