LuoGuP1654:OSU!

Pre

好神奇

Solution

首先不要像我一样设(f[i])表示(i)处为1的答案，并尝试枚举左端点，会想到(DP)的优化上面。

实际上考虑(f[i])的来源，首先是(a[i])为(1)的时候，难以直接转移，因为贡献是(X^3)。

于是可以想到(题解说)：

((X+1)^3=X^3+3cdot X^2+3cdot X+1)

这样的话可以求(a[i]=1)时，以(a[i])为右端点的(X^2)的期望长度和(X)的期望长度。

求法就玄学了。

上代码

f[i] = p[i] * (f[i - 1] + 1);//X
g[i] = p[i] * (g[i - 1] + 2 * f[i - 1] + 1);//X^2

(f)的转移的正确性不说了。

(g)的转移的正确性可以说一说。

考虑期望可以表示为所有的路径的长度的平均值(就是相同路径的出现次数之比为概率之比)。

这样的话期望(=frac{sum(len^2)}{cnt})

平方过后期望(=frac{sum((len+1)^2)}{cnt})

也就是(=frac{sum(len^2)+2 imes sum(len)+sum(1)}{cnt})

这样直接展开后就可以从(f)转移了。

然后是状态转移

h[i] = p[i] * (h[i - 1] + 3 * g[i - 1] + 3 * f[i - 1] + 1) + (1 - p[i]) * h[i - 1];

揣摩一下就可以了。

Code

#include <cstdio>
#define ll long long
#define xx first
#define yy second
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
int n;
double p[N + 5], f[N + 5], g[N + 5], h[N + 5];
int main () {
	#ifdef chitongz
	freopen ("x.in", "r", stdin);
	#endif
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf ("%lf", &p[i]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		f[i] = p[i] * (f[i - 1] + 1);
		g[i] = p[i] * (g[i - 1] + 2 * f[i - 1] + 1);
		h[i] = p[i] * (h[i - 1] + 3 * g[i - 1] + 3 * f[i - 1] + 1) + (1 - p[i]) * h[i - 1];
	}
	printf ("%.1lf
", h[n]);
	return 0;
}

Conclusion

比较有趣的构造方法。