LuoGuP3321:[SDOI2015]序列统计

Pre

错误百出。

第一次打多项式快速幂。

Solution

可以发现用多项式优化动态规划的转移。

每加入一个数，就乘上一个多项式(其实这个多项式有一点像生成函数，指数表示的数模意义下的值，系数表示的是方案的数量)。

这样就可以用多项式快速幂优化了。

于是我就(WA)了一发。

设(f(i,j))表示已经有(i)个数，并且指数为(j)的时候的系数值。

(f(i,j)-sumlimits_{m*n=j}f(i-1,m)*f(i-1,n))

于是貌似不可做。

我尝试着从修改(NTT)的运算过程的角度思考，但是失败了。

看题解发现

敲黑板重点

设(g)是(m)的原根

(f(i,log_gj)=sumlimits_{loh_gm+log_gn=log_gj}f(i-1,log_gm)*f(i-1,log_gn))

可做。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define xx first
#define yy second
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 17000 + 5, mod = 1004535809;
int nn, nm, x, s, n, bit, rg;
int f[N], g[N], h[N], val[N], rev[N];
inline int solve (int);
inline int mul (int u, int v) {return 1LL * u * v % mod;}
inline int add (int u, int v) {return u + v >= mod ? u + v - mod : u + v;}
inline int mns (int u, int v) {return u - v < 0 ? u - v + mod : u - v;}
inline int qpow (int u, int v, int md) {int tot = 1, base = u % md;while (v) {if (v & 1) {tot = 1LL * tot * base % md;}base = 1LL * base * base % md;v >>= 1;}return tot;}
inline void solve2 ();
inline void ntt (int *a, bool flag) {
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));
		if (i > rev[i]) swap (a[i], a[rev[i]]);
	}
	for (int l = 2; l <= n; l <<= 1) {
		int wi = qpow (flag ? qpow (3, mod - 2, mod) : 3, (mod - 1) / l, mod);
		int m = l / 2;
		for (int *k = a; k != a + n; k += l) {
			int w = 1;
			for (int i = 0; i < m; ++i) {
				int tmp = mul (k[i + m], w);
				k[i + m] = mns (k[i], tmp);
				k[i] = add (k[i], tmp);
				w = mul (w, wi);
			}
		}
	}
	int inver = qpow (n, mod - 2, mod);
	for (int i = 0; i < n && flag; ++i) {
		a[i] = mul (a[i], inver);
	}
}
inline void work (int *a, int *b) {
	ntt (a, false);
	ntt (b, false);
	for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = mul (a[i], b[i]);
	ntt (a, true);
	ntt (b, true);
	for (int i = nm - 1; i < (nm - 1) * 2; ++i) a[i - (nm - 1)] = add (a[i - (nm - 1)], a[i]), a[i] = 0;
}
inline void fpow (int k) {
	while (k) {
		if (k & 1) work (f, g);
		for (int i = 0; i < n; ++i) h[i] = g[i];
		work (g, h);
		k >>= 1;
	}
}
int main () {
	scanf ("%d%d%d%d", &nn, &nm, &x, &s);
	n = 1, bit = 0;
	while (n <= nm - 1) n <<= 1, ++bit;
	n <<= 1, ++bit;
	rg = solve (nm);
	solve2 ();
	for (int i = 1; i <= s; ++i) {int tmp; scanf ("%d", &tmp); if (tmp % nm == 0) continue; g[val[tmp % nm]]++;}
	f[val[1]] = 1;
	fpow (nn);
	printf ("%d
", f[val[x]]);
	return 0;
}
inline void solve2 () {
	int tg = 1;
	for (int i = 0; i < nm - 1; ++i) {
		val[tg] = i;
		tg = 1LL * tg * rg % nm;
	}
}
int q[N], top;
inline int solve (int p) {
	top = 0;
	int x = p - 1;
	for (int i = 2; i * i <= x; ++i) {
		if (x % i == 0) {
			q[++top] = i;
			while (x % i == 0) {
				x /= i;
			}
		}
	}
	if (x > 1) q[++top] = x;
	for (int i = 2; ; ++i) {
		bool flag = true;
		for (int j = 1; j <= top; ++j) {
			if (qpow (i, (p - 1) / q[j], nm) == 1) flag = false;
		}
		if (flag) {
			return i;
		}
	}
}

Conclusion

即使看了题解也不能很快做出来。

首先注意多项式乘法，就是(work())函数，一定要把(b)数组还原(可能就我一个人错吧)；

其次注意求原根的时候

if (x > 1) q[++top] = x;

一定是(>1)