(1.) 指示器变量
设事件 (A)，设指示器变量 (X_{A})，指示事件 (A) 发生，具体为
[X_{A} = left{egin{matrix}
1, & A happens\
0, & A not happens
end{matrix}
ight.
]
由定义知道，指示器变量 (X_{A}) 返回数值 (0) 或 (1)
容易知道，指示器变量 (X_{A}) 的期望 (E(X_{A}) = Pr[X_{A}])，事实上
[E(X_{A}) = 1cdot Pr[X_{A}] + 0cdot (1 - Pr[X_{A}]) = Pr[X_{A}]
]
所以 (E(X_{A}) = Pr[X_{A}])
下面使用指示器变量分析具体的随机问题
(2.) 抛 (n) 次硬币，计算正面朝上的期望次数
(Sol. 1) 常规期望分析
设正面朝上的次数为 (X)
则
[Pr[X = i] = C_{n}^{i}(frac{1}{2})^i(frac{1}{2})^{n - i}, i = 0, 1, .., n
]
则
[egin{aligned}
E(X) & = sumlimits_{i = 0}^{n}E(X = i)\
& = sumlimits_{i = 0}^{n}left[icdot C_{n}^{i}(frac{1}{2})^i(frac{1}{2})^{n - i}
ight]\
& = sumlimits_{i = 1}^{n}left[icdot C_{n}^{i}(frac{1}{2})^{i}(frac{1}{2})^{n - i}
ight]\
& = frac{n}{2}sumlimits_{i = 0}^{n - 1}left[C_{n - 1}^{i}(frac{1}{2})^{i - 1}(frac{1}{2})^{n - i}
ight]\
& = frac{n}{2}cdot (frac{1}{2} + frac{1}{2})^{n - 1}\
& = frac{n}{2}
end{aligned}
]
(Sol. 2) 指示器变量分析
设事件 (A) 表示硬币朝上
设立指示器变量 (X_{i})，指示第 (i) 次抛掷事件 (A) 发生，具体为
[X_{i} = left{egin{matrix}
1, & A happens\
0, & A not happens
end{matrix}
ight.
]
仍然设朝上次数为 (X)，易得 (X = sumlimits_{i = 1}^{n}X_{i})，且 (E(X_{i}) = Pr[X_{i}] = frac{1}{2})
因此
[egin{aligned}
E(X) & = E(sum_{i = 1}^{n}X_{i})\
& = sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})\
& = frac{n}{2}
end{aligned}
]
(3.) 生日问题，设有 (n) 个人，一年有 (m) 天，求生日相同的对的期望
这个问题与如下问题等价
有 (n) 个元素，(m) 个桶，采用均匀分布的哈希映射，求碰撞数的期望值
形式化的说，记一个 (pair) 为 ((i, j))，计算集合
[S = left{(i, j)mid i
eq j, H(i) = H(j)
ight}
]
基数的期望
(Sol. 1) 常规期望分析
记 (N = C_{n}^{2})，表示一共有 (N) 个 (pair)
记 (P(i)) 表示有 (i) 个 (pair) 满足条件的概率，其中任意一个 (pair) 满足条件的概率均为 (frac{1}{m})，于是
[P(i) = C_{N}^{i}(frac{1}{m})^{i}(1 - frac{1}{m})^{N - i}
]
于是 (pair) 数 (X) 的期望为
[E(X) = sum_{i = 0}^{N}icdot C_{N}^{i}(frac{1}{m})^{i}(1 - frac{1}{m})^{N - i}
]
这个式子类似于之前硬币问题的推导，最终结果为
[E(X) = frac{N}{m} = frac{n(n - 1)}{2m}
]
(Sol. 2) 指示器变量分析
设事件 (A) 表示 (pair(i, j)) 满足条件
设立指示器变量 (I(i, j))，指示对于 (pair(i, j))，事件 (A) 发生，具体为
[I(i, j) = left{egin{matrix}
1, & A happens\
0, & A not happens
end{matrix}
ight.
]
易得
[Eleft[I(i, j)
ight] = Pr[I(i, j)] = frac{1}{m}
]
设 (X) 为满足条件的 (pair) 数，则
[X = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = i + 1}^{n}I(i, j)
]
则
[egin{aligned}
E(X) & = Eleft[sum_{i = 1}^{n}sum_{j = i + 1}^{n}I(i, j)
ight]\
& = sum_{i = 1}^{n}sum_{j = i + 1}^{n}Eleft[I(i, j)
ight]\
& = Ncdot Pr[I(i, j)]\
& = frac{n(n - 1)}{2m}
end{aligned}
]