跟我一起学算法——斐波那契堆

斐波那契堆（Fibonacci Heap）

1. 定义

FibHeap是一个树的集合，且树满足最小堆性质。根表不要求树根的度有序，head指向根表中值最小
的结点。全部使用双向循环链表。
KEY：防止超出O(lgn)的操作出现，也即防止出现度超过O(lgn)的树出现，只要能保证D(n)<=
lgn，其性能优于二项堆。

2. 数据结构

• 结点的域
  p：父指针
  left,right：左右指针
  key：值
  degree：度
  child：指向任意孩子
  mark：非常重要的标志位。创建结点或结点成为孩子时，mark=false，结点失去一个孩子时，mark=true。
• 根表以及结点间 双向循环链表

3. 预定义

1. 势函数定义
   f(H)=t(H)+2m(H)
   f表示势函数，t表示树的个数，m表示mark=true的结点数。
2. 平摊分析
   C^i = C_i + f(i) - f(i-1)
   C^i：平摊成本
   C_i：操作的实际成本
   f(i-1):操作前的势能
   f(i):操作后的势能
3. 任意结点的最大度上界 D(n)
4. 无序二项树U_k
   不要求按子树的度的大小排列。

4. 五个基本操作

1. 创建空堆
2. 插入结点x
   将x作为U_0树插入根表，检查head， x.mark=false。
   平摊分析：
   C_i = O(1)
   f(i)-f(i-1)=t(H')-t(H)+2m(H') -2m(H)=1+0=1
   则C^i=O(1)
3. 查找最小值结点
   head
   平摊成本O(1)
4. 合并堆
   step1:合并根表
   step2：检查head
   平摊成本O(1)
5. 抽取最小值结点z
   平摊成本O(D(n))

• 将z的子树插入根表
• delete z, head随意指
• 清理根表，防止根表过大。合并相同度的树，重构堆，并将head指向最小结点。
  使用一个辅助指针数组A[0,..., D(n[H])]，高效合并和重构堆。D(n[H])表示根结点的最大度。
  数组下标表示度，数组元素为根节点指针，初始化为null。合并度相同的树，最终使根表中的度是
  唯一的。
  注意：以head为起点，向右扫描根表，同时合并相同度的二项树，直到根表中的树具有唯一的度。

5.两个扩展操作

1. 结点减值

• 根结点减值后不需要后续操作
• 非根结点x减值后如果破坏了最小堆性质，则需要后续操作
• 切断x与其父结点y的关系，把x加入根表，x.mark=Flase
• 级联切断 递归检查y结点，如果x是它被剪掉的第二个孩子(y.mark=TRUE)，则y也从原
  树中脱离，加入根表，同时y=y.p，继续检查，直到y.mark=false或y=root
• 别忘记重新确定head->min

fibHeap_decrease(h, x, k):
  if k > x.KEY:
    error
    return
  x.key = k
  y = x.p
  if y is not None and x.key < y.key:
    # 切 x
    cut(h, x, y)
    # 级联切断
    cascading_cut(H, y)
  # 检查head
  if x.key < h.min.key :
    h.min = x

cut(h,x,y):
  remove x from y
  y.degree -= 1
  add x to rootlist
  x.p = None
  # 关键
  x.mark = FALSE

cascading_cut(H, y):
  z = y.p
  if z is not None:
    if y,mark == FALSE:
      y.mark = TRUE
    else :
      cut(H,y,z)
      cascading_cut(H,z)

2. 删除结点

• x结点减值到MIN
• 抽取最小值

参考

《算法导论》